第3讲 圆的方程
一、填空题
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为__________________． 解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
答案 x2＋(y＋2)2＝5
2．已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是________．
解析 依题意得，直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝10，因此圆的半径是5. 答案 5
3．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点 C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．
解析 由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0. 答案 y2＋4x－4y＋8＝0[来源:Zxxk.Com]
4．已知圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0 相切，则圆O的方程是________． 解析 设圆心为(a,0)(a<0)，则
|a|
＝5， 2
∴a＝－10，∴圆O的方程为(x＋10)2＋y2＝5. 答案 (x＋10)2＋y2＝5
5．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN的最小值是________．
解析 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝
|－3－4－2|94
＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝555.
4答案 5 6．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为________．
解析 圆心(2,1)到直线的距离d＝所以，平移的最短距离为2－1. 答案 2－1
7．已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则
△ABP面积的最小值为________．
解析 如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P， xy
这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为4＋＝1，
－3即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为 d＝
|3×0－4×1－12|16
＝5， 223＋?－4?
|2－1＋1|
＝2. 2
1?16?11
∴△ABP的面积的最小值为2×5×?5－1?＝2. ??11
答案 2
8．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是________．
解析 因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6. 答案 (4,6)
9．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且AB＝6，则圆C的方程为________． 解析 抛物线y2＝4x，焦点为F(1,0)．∴圆心C(0,1)，C到直线4x－3y－2＝05
的距离d＝5＝1，且圆的半径r满足r2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x2＋(y－1)2
＝10.
答案 x2＋(y－1)2＝10
3
10．圆心在曲线y＝x(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．
3??a，解析 设圆心坐标为?(a>0)，则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d(a)a???12??
?3a＋a＋3?
4?3??3?a＋＝＝5?≥(4＋1)＝3，当且仅当a＝2时等号成立．此a＋1?5??53??
时圆心坐标为?2，2?，圆的半径为3.
???3?答案 (x－2)2＋?y－2?2＝9
??二、解答题
11．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．[来源:Z,xx,k.Com]
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S. 解 (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件． |－k＋2|
当k存在时，设直线y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，2＝1，解得k
k＋13＝4.
311
∴过点A的圆的切线方程为：x＝3或y＝4x＋4.
(2)|AO|＝9＋25＝34，lOA：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝11S＝2d|AO|＝2. 12．已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在直线x＋y－2＝0上
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
1，34
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
?222
根据题意得：??－1－a?＋?1－b?＝r，
?a＋b－2＝0
解得a＝b＝1，r＝2，
?1－a?2＋?－1－b?2＝r2
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由题意知，四边形PAMB的面积为 11
S＝S△PAM＋S△PBM＝2AM·PA＋2BM·PB. 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA， 而PA＝PM2－AM2＝PM2－4， 即S＝2PM2－4.
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可， 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得PM的值最小， |3×1＋4×1＋8|所以PMmin＝＝3，
32＋42所以四边形PAMB面积的最小值为 Smin＝2[?PM?min]2－4＝232－4＝25.
13．已知直线l：x＝4与x轴相交于点M，P是平面上的动点，满足PM⊥PO(O是坐标原点)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过直线l上一点D(D≠M)作曲线C的切线，切点为E，与x轴相交点为F，→＝1DF→，求切线DE的方程． 若DE
2解 (1)依题意，知M(4,0)， 设P(x，y)(x≠0且x≠4)， 由PM⊥PO，得kPM·kPO＝－1，即
yy
·＝－1， x－4x
整理得，动点P的轨迹C的方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0且x≠4)． (2)DE、DM都是圆(x－2)2＋y2＝4的切线，∴DE＝DM.
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