2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版

【3年高考试题比较】

对于导数的解答题，考纲的要求是：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.

通过比较近三年的高考卷总结如下：一般有两问，（16年3卷出现了三问），第一问往往是以讨论函数单调性和切线问题为主，也有根据不等式恒成立或零点问题求参数范围的问题，但一般难度不大，第二问主要涉及不等式的恒成立问题，零点问题，函数最值问题，一元的不等式证明和二元的不等式证明，方法灵活，难度较大.

【必备基础知识融合】

1.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 2.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?f（x）?

?′＝(3)?(g(x)≠0).

[g（x）]2?g（x）?3.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的

导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数

(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立?函数f(x)在区间D上递增；

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝ex f′(x)＝axln__a 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a (2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立?函数f(x)在区间D上递减； (3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立?函数f(x)在区间D上是常函数. 5.函数的极值与导数

6.函数的最值与导数

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

【解题方法规律技巧】

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典例1：已知曲线y＝x3＋.

33

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.

【规律方法】(1)求切线方程的方法：

①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； ②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.

(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

x－1

典例2：设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数.

x＋1(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性.

1

③当－＜a＜0时，Δ＞0.

2

设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，

－（a＋1）＋2a＋1－（a＋1）－2a＋1

则x1＝，x2＝.

aaa＋1－2a＋1a2＋2a＋1－2a＋1

由x1＝＝＞0，

－a－a所以

x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减. 综上可得：

当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 1

当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

2

1?－（a＋1）＋2a＋1?，?－（a＋1）－2a＋1?上单调递减， 当－＜a＜0时，f(x)在?0，???，＋∞2aa????在?

?－（a＋1）＋2a＋1－（a＋1）－2a＋1?上单调递增.

?，

aa??【规律方法】 (1)确定函数单调区间的步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②求f′(x)；

③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x，f′(x)＝3x≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但

f(x)＝x3在R上是增函数.

（3）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.

1

典例3： 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).

2

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.

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