11??t100?22?k111?1,?2,?3?1?kt1?1?kt1?????0，
2?22k?12?22k?1t2?22k?1t2?1k所以?1,?2,?3必线性无关.
（21）（本题满分11分）
222设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1?y2，求a的值.
【考点】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，二次型的标准形和规范形，惯性定理 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A是n阶矩阵，
?E?A?0称为矩阵A的特征方程，?是特征值.
由规范形的形式可知二次型的正负惯性指数. 在本题中，
1??a0??，由特征多项式
?1（Ⅰ）二次型矩阵A?0a????1?1a?1????a?E?A?0?10?11??a1??a??a?0??a?1101
??a?1??a?1?(??a)(??a?1)(??a?2)，
可知二次型A的3个特征值为：a,a?1,a?2
22（Ⅱ）若二次型的规范形为y1?y2，说明正惯性指数p?2，负惯性指数q?0.那么二次
型矩阵A的特征值中应当有2个特征值为正，1个特征值为0，所以必有a?2.
（22）（本题满分11分）
袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求PX?1Z?0；
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??（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布。
【考点】条件概率，二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 条件概率公式 P(AB)?在本题中， （Ⅰ）P?Z?0??P(AB) P(B)33112211??，P?X?1,Z?0??????， 66466669P?X?1,Z?0?4P?X?1Z?0???
P?Z?0?9（Ⅱ）(X,Y)是离散型随机变量，其取值为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，
(2,0)，(2,1)，(2,2)，相应概率为
331231P?X?0,Y?0????，P?X?0,Y?1??2???，
66466321131P?X?0,Y?2??()2?，P?X?1,Y?0??2???，
6966612111P?X?1,Y?1??2???，P?X?2,Y?0??()2?，
669636P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2??0
Y X 0 1 2 1/4 1/6 1/36 0 1/3 1/9 0 1 1/9 0 0 2 （23）（本题满分11 分）
??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，X1，X2,…
0,其他?Xn是来自总体X的简单随机样本
(Ⅰ)求参数?的矩估计量；
（Ⅱ）求参数?的最大似然估计量 【考点】矩估计法，最大似然估计法 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
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似然函数 L(?)?L(x1,x2,L,xn;?)??p(xi;?)，对数似然方程
i?1ndlnL(?)?0. d?在本题中， (Ⅰ) EX????0?2x2e??xdx???1??0(?x)2e??xd(?x)?1??(3)?2?@?，
则??
??2 .故?的矩估计量为??X2
（Ⅱ）样本X1,X2,L,Xn的观察值记为x1,x2,L,xn，则似然函数为
L(?)???xie2i?1nn??xi??2n?xeii?1nn???xii?1n，
lnL(?)??lnxi?2nln????xi，
i?1i?1dlnL(?)2nn2n2??2. ???xi?0，得??n?，则?的最大似然估计量为?令
d??i?1X?xixi?1
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