高中数学核心考点：解不等式恒成立问题10种方法

函数中“恒成立”问题求解对策十种

本文对此类问题的解题技巧，仅介绍几种常用的方法，供学习参考。 一. 利用函数思想 例1. 已知求a的取值范围。

分析：从表面结构看f（a）是一个以函数，因此可构造x的一次函数求解。 解：原式变形为

为变量的二次函数，而实质是变量x的一次

，当

时，f（a）恒为正数，

因为在区间

上恒正，所以，即且

解得

二. 分离参数法

例2. 设，如果对满足的x，y，不等式

恒成立，求r的取值范围。

解：令

因为，故不妨设，代入得

上式对内的一切都成立，故对上述区间内的

的最小值也成立

因为

所以

所以当时等号成立（因为所以的最小值是

所以

三. 判别式法 例3. 已知函数

的根的取值范围。

解：因为f（x）恒为非负，则

当时，则

所以

所以

当时，则所以

，所以）

在其定义域内恒为非负，求方程

解得，方程化为

所以方程的根的取值范围是

四. 利用函数的单调性 例4. 已知不等式

恒成立，试确定参数a的取值范围。 分析：显然，只需令函数

即可。

，对一切大于1的自然数n

的最小值不小于

解：设

因为

所以f（n）是增函数，所以，且时，

要使对一切大于1的自然数n恒成立

必须有

所以因为所以

解得

即a的取值范围是

五. （1）利用一元不等式在区间上恒成立的充要条件 例5. 已知

（其中a为正常数），

若当x在区间［1，2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。