包含与排除问题(容斥原理)

包含与排除（二）

在日常生活中，我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑，并且给它一个总称。如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具；西红柿、黄瓜、土豆、白菜……总称为蔬菜；苹果、香蕉、梨……总称为水果等等。

在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：

（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集（又叫A与B的和）。记作A?B，记号“?”读作“并”，A?B读作“A并B”。

（2）A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们所组成的集合叫做A和B的交集，记作“A?B”，记号“?”读作“交”，A?B读作“A交B”。

下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。

（一）典型例题

例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加数学小组的有16人，参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？

分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|，参加作文小组的可以看成是集合|B|，两组都参加的可以看成|A?B|，问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人，也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起，即|A?B| 16?20?5?31（人）

根据上面列式，我们可以得出： |A|?|B|?|A?B|?|A?B|

答：参加数学小组或作文小组的一共有31人。

例2. 求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。 分析与解：

（1）1～20的自然数中2的倍数用集合A表示 A={2，4，6，8，10，12，14，16，18，20} |A|=10

（2）1～20的自然数中3的倍数用集合B表示 B={3，6，9，12，15，18} |B|=6

（3）既是2的倍数又是3的倍数，也就是A?B A?B?{6,12,18} |A?B|?3

（4）|A?B|?|A|?|B|?|A?B|

?13 答：1～20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。

例3. 四年级有学生75人，在一次校田径运动会中，参加田赛的有35人，参加径赛的有29人，既参加田赛又参加径赛的有6人，问两项都未参加的有多少人？

分析与解：如图，要求两项都未参加的，要先求出至少参加一项的有多少人，从全年级中除去至少参加一项的就是所求。

田 6 径 35人 人 29 ？人 75人 ?10?6?3

|A|表示田赛人数，|B|表示径赛人数 |A?B|?|A|?|B|?|A?B| ?35?29?6 =58（人） 75－58＝17（人）

答：两项都未参加的有17人。

例4. 40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都没答对的有4人，则两题都答对的有多少人？

分析与解：如下图，要求出两题都答对的人数，要先求出至少答对一题的有多少人。

30人 ？ 21人 4人 40人

答对第一题的人数用|A|表示 答对第二题的人数用|B|表示 |A?B|?40?4?36（人） |A?B|?|A|?|B|?|A?B| ?30?21?36 =15（人）

答：两题都答对的有15人。

例5. 某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打蓝球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球

又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？

分析与解：根据题意，可画集合图如下：

篮 排 26人 7 17人 4 9 足19人

用|A|表示爱打篮球的人数 |A|=26

|B|表示爱打排球的人数 |B|=17

|C|表示爱踢足球的人数 |C|=19

|A?B?C|?|A|?|B|?|C|?|A?B|?|A?C|?|B?C| ＝26＋17＋19－7－9－4 ＝42（人） 答：这个班共有42人。

［答题时间：30分钟］ 二. 尝试体验

1. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人？

2. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？

3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人？

4. 求1～100的自然数中

（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数

（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数 5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人？

【试题答案】

二. 尝试体验

1. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人？ 48－26＝22（人） 12＋17－22＝7（人）

答：两门都得100分的有7人。 2. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？ 75＋83－68＋10＝100（人） 答：这批游客共有100人。 3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人？

70－48＋24＝46（人） 答：会跳舞的有46人。 4. 求1～100的自然数中

（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数 100÷5＝20

100÷8＝12……4 100÷40＝2……20 20＋12－2＝30

（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数 100－30＝70

5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人？ 25－10＝15（人）只做对第1题的人数 18－15＝3（人）两题都做错的人数