高数总复习(上)
一、求极限的方法：
1、利用运算法则与基本初等函数的极限；
①、定理 若limf(x)?A,limg(x)?B, 则
(加减运算) lim[f(x)?g(x)]?A?B
(乘法运算) limf(x)g(x)?AB
f(x)(除法运算) 若B?0,limg(x)?AB 推论1: limf(x)?A,lim[f(x)]n?[limf(x)]n?An推论2: limcf(x)?c[limf(x)]
n为正整数) (
②结论1:a0xm?a1xm?1?limx??bxn?bxn?1?01?a0?b,当m?n 0?am?1x?am????0,当m?n?bn?1x?bn??,当m?n???结论2: f(x)是基本初等函数，其定义区间为D，若x0?D，则
2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
lim①定义1: 若x?x0f(x)?0或（limf(x)?0）
x??则称
f(x)是当x?x0 (或x??)时的无穷小.
定义2: ?,?是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若lim??1, 则称?与?是等价无穷小, 记为???.
②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.
性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设?~??,?~??,
且lim?存在, 则
?????????. lim?lim?lim?lim?????? (因式替换原则)
常用等价无穷小:
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
①准则I(夹逼准则)若数列xn,yn,zn(n=1,2,…)满足下列条件:
(1)yn?xn?zn(n?1,2,3,);
(2)limy?limz?a,
nnn??n??则数列xn的极限存在, 且limxn??n?a.
②准则II: 单调有界数列必有极限.
4、利用两个重要极限。
5、利用洛必达法则。
0??,,???,0??,0 未定式为类型. 0?0 ①定理(x?a时的型): 设
0(1)limx?af(x)?limF(x)?0;
x?a(2) 在某U(a,?)内, f(x)及F(x)都存在且F(x)?0;
二、求导数和微分 ：
1.定义
①导数：函数y?f(x)在x?x0处的导数：
f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)f?(x0)?lim?lim.
x?x0?x?0x?x0?x函数
y?f(x)在区间I上的导函数：
②函数的微分：dy?f?(x)dx.
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
① 函数和差积商求导法则：函数u(x)、v(x)可导，则：
②反函数求导法则：若x??(y)的导数存在且??(y)?0，
则反函数
y?f(x)的导数也存在且为
③复合函数求导法则(链式法则)：u??(x)可导，y?f(u)可导，
则
y?f(?(x))可导，且
④隐函数求导法则:
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