高等数学大一上学期知识要点

⑤参数方程求导法则:

dy??(t)?若??(t)?0则. dx??(t)3.微分运算法则

三、求积分：

1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

???i?1n性质1：a?af(x)dx?0,??f(x)dx??f(x)dx

baab性质2：

?ba[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx

aabb性质3：a?bkf(x)dx?k?f(x)dx,(k是常数).

ab性质4：

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx (去绝对

accb值, 分段函数积分)

性质5：

?badx?b?a

2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；

①第一换元法(凑微分)：

?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)②第二换元法：

u??(x)???f(u)du???u??(x)

③分部积分法：

分部化简 ;

循环解出; 递推公式

④有理函数积分：

混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数

⑤牛顿莱布尼茨公式：

⑥定积分换元法：

5.?f(x)dx??f(?(t))??(t)dtab??(a＝?(?)b=?(?))

（换元换限，配元(凑微)不换限）

⑦定积分分部积分法：

6.?u(x)v?(x)dx??u(x)v(x)?a??u?(x)v(x)dx

aabbb⑧结论(偶倍奇零)：

① 若函数f(x)为偶函数，则

?a?af(x)dx?2?f(x)dx。

0a②若函数f(x)为奇函数，则?a?af(x)dx?0

注意:

1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；

2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如?0a?xdx?a22?a24)

⑨ 变限积分求导

四、微分和积分的应用

1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形

① 判断单调性：

第一步：找使

f?(x)?0的点和不可导点。

第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论

f?(x)的正负，f?(x)?0,函数递增，f?(x)?0,

函数递减。

② 判断凹凸性：

第一步：找使

f??(x)?0的点和不可导点。

第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论

正负，

f??(x)的

f??(x)?0，是凹区间，f??(x)?0，是凸区间。

（拐点：左右两边f??(x)的符号相反）

③ 判断函数极值：

第一步：找使

f?(x)?0的点和不可导点。

第二步：判断这些点两边

点

f?(x)的正负，若左正右负极大值

左负右正极小值点。

?? 定积分的几何应用---求面积，体积和弧长

y=f y=fb x

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