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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题
一、单项选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
1＋2i
＝( ) 1－2i
433434
B.－＋i C.－－i D.－＋i
555555
43
A.－－i
55
2. 已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9 B.8
－
C.5 D.4
ex－ex
3. 函数f(x)＝的图象大致为( )
x2
A B
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C D
4. 已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·(2a－b)＝( ) A.4 B.3
C.2 D.0
x2y2
5. 双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
abA.y＝±2x B.y＝±3x
C.y＝±
23x D.y＝±x 22
c5
6. 在△ABC中,cos ＝,BC＝1,AC＝5,则AB＝( )
25
A.42 B.30 C.29 D.25
11111
7. 为计算S＝1－＋－＋…＋－,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
23499100( )
A.i＝i＋1?
B.i＝i＋2? C.i＝i＋3? D.i＝i＋4?
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) 1
A. 12
1
B. 14
11
C. D.
1518
9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
1552
A. B. C. D. 5652
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10. 若f(x)＝cos x－sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( ) ππA. B. 42
3π
C. D.π
4
11. 已知f(x)是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f(1－x)＝f(1＋x),若f(1)＝2,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
x2y2
12. 已知F1,F2是椭圆C:2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且
ab斜率为
3
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°,则C的离心率为( ) 6
1
D. 4
211A. B. C. 323
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为________.
x＋2y－5≥0，??
14. 若x,y满足约束条件?x－2y＋3≥0，则z＝x＋y的最大值为________.
??x－5≤0，15. 已知sin α＋cos β＝1,cos α＋sin β＝0,则sin(α＋β)＝________.
7
16. 已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若
8△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为________.
三、计算题:本题共5小题，每题12分，共60分。把解答写在答题卡中指定的答题处，要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤。
17. 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn,并求Sn的最小值.
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18. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y＝99＋17.5t.
（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19. 设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.
（1）求l的方程；
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20. 如图,在三棱锥P-ABC中,AB＝BC＝22,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点. （1）求证:PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
^^
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21. 已知函数f(x)＝ex－ax2.
（1）若a＝1,求证:当x≥0时,f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,＋∞)只有一个零点,求a.
四、选考题:本题共2小题，每题10分，考生任选一道作答，多答无效。把解答写在答题卡中指定的答题处，要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤。
??x＝2cos θ，22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(θ为参数),直线l的参数方程为
?y＝4sin θ???x＝1＋tcos α，
?(t为参数). ??y＝2＋tsin α
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
23. 设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. （1）当a＝1时,求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1,求a的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考解析
1.
1＋2i
＝( ) 1－2i
433434
B.－＋i C.－－i D.－＋i 555555
1＋2i(1＋2i)(1＋2i)34＝＝－＋i.
551－2i(1－2i)(1＋2i)
43
A.－－i 55
答案：D 【解析】
2. 已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9 B.8
C.5 D.4
答案：A 【解析】当x＝－1时,y2≤2,得y＝－1,0,1；当x＝0时,y2≤3,得y＝－1,0,1；当x＝1时,y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9个.
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