高二至高三过渡立体几何专题

立体几何专题

如（1）△ABC中，?????????|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________

复习平面向量

（2）已知?1??等于____

一．向量有关概念：

b?(0,?1?????????a?(1,),),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为

?4，则k1．向量的概念： 如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量????AB（3）已知?2???2??a?2,b?5,a?b??3，则a?b等于____

按向量?a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____

（4）已知??????a,b是两个非零向量，且

a?b，则????a?ba与a?b的夹角为_

___

2．零向量： ，记作：0，注意 3．单位向量： 3．b在a上的投影

如已知??????4．相等向量： |a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______ 5．平行向量（也叫共线向量）： ，规定 4．a?b的几何意义：

6．相反向量： 下列命题：（1）若??? ?5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：

a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们

????①????a?b?a?b?0；

的起点相同，终点相同。（3）若AB?DC是平行四边形，则????????（5）若?，则??ABCD?是平行四边形。（4?）若??ABCD?a?b,b?c，则??②当a，b同向时，a?b＝ ，特别地，?AB?DC。a?c。（6）若a//b,b//ca2????a?a?a2??,a?a2；当a与b则??，a//c。其中正确的是_______ 反向时，＝ ；当?为锐角时，????a?b二．向量的表示方法： 当?为钝角时，??a?b＞?0?，且a、 b不同向，a?b?0是?为 ；

a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为 ； 1．几何表示法： ③非零向量a，b夹角?2．符号表示法： 3．坐标表示法：

④????的计算公式： ；

|a?b|?|a||b|

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那

如已知????a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2。

______

如（1）若????a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______

六．向量的运算：

（21．几何运算： A. ??）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是???????? e①向量加法： 1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) ②向量的减法：

C.

?????e1?(3,5),e2?(6,10) D.

?????e?3),e(131?(2,2?????????2,?4)

??????????????如????（1???）?化????简：①????????????????????????AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；③?a,BE?b(AB?CD)?(AC?BD)?_____

???（?3）已知AD?,?BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD,则

BC可用向量a,b表示为_____

（2）若正方形ABCD的边长为1，??????????????????AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|（4）已知???????????????C?OB?OC?2OA?ABC中，点（3）若O是?ABC所在平面内一点，且满足???????????????????＝?_____

OB?O，则

D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___

?ABC的形状为____

四．实数与向量的积： 五．平面向量的数量积：

2．坐标运算：设??

a?(x1,y1),b?(x2,y1．两个向量的夹角： ①向量的加减法运算：??2)，则：

a?b?(x 1?x2，y1? 如（1）已知点???y?2)。????

????A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____

时，点P在第一、三象限的角平分线上

2．平面向量的数量积：

（2）已知A(2,3),B(1,4),且1??????2AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)22，则x?y? 第2页 共9页

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?????????????（?3??）?已知作用在点???A(1,1)的三个力F1?(3,4),F?????????2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力

（3）已知n?(a,b),向量n?m，且n?m，则m的坐标是________

F?F1?F2?F3的终点坐标是10、向量中一些常用的结论：

②实数与向量的积：??

a? 。

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；③若A(x????1,y1),B(x2,y2)，则AB? ，即一个向量的坐标等于表示

（2）?????????

||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当a、 b同向或有0?????|a?b|?|a|?|b|

这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如

??????????||a|?|b|| b反向或有0?????|a?b|?|a|?|b|?||?a|?|?b||?|?a??b|；当a不

设

????1????A(2,3),B(?1,5)，且AC?，????????共线???|a??b|；当??a、??、 b||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似).

3ABAD?3AB，则

C、D的坐标分别是

__________

（3）在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为

④平面向量数量积：??a?b? 。如

G?x?x?12?x3,y1?y2?y3?如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，

已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）?33?。?若x＝

??-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______

3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈[?3?8,4]，函数f(x)??a?b的最

????????????????????????；

大值为

1②PG?1?????2，求?的值

3(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC⑤向量的模：??|?,a2?|a?|a|2?x2③???的重心；????????

?????????????PA?PB?已知???y2。如

均为单位向量，它们的夹角为????a,b60?，那么|a?3b|＝_____

???PB??PC?????PC?PA?P为?ABC的垂心；

AB⑥两点间的距离：若A?x④向量?(????1,y1?,B?x2,y2?，则|AB|? 。 |AB|????AC?)(|AC|??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所七．向量的运算律： 在直线)；1．交换律： ⑤????

?????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；

2．结合律： （3）若P分有向线段?????P3．分配律：

1P2所成的比为?，点M为平面内的任一点，则

????????????????????????如下列命题中：① ?????????????，特别地P为P????MP?MPa?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③

MP?MP1??MP21??1P2的中点?MP?12；

2??(a?b)2??|a|2

????（4）向量

????????????PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得

????????????????????PA?PB??P且C????1.如

?2|a|?|b|?|b|2；④?? 若?a?b?0，则a?0或b?0；⑤若

a?b?c?b,则

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足

??a?c；⑥?2?a?a2；⑦a??bb2??；⑧???(a?b)2?a2??b2；⑨??(a?b)2??a2????2a?b?b2。其

?????????aaOC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______

中正确

八．向量平行(共线)的充要条件： 如 (1)若向量????

a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

???? （2）已知??????a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v????????，则x＝______

（3）设????PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线

九．向量垂直的充要条件： 如(1)已知??????????? ? ??? ? . OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m?

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?， 则点B的坐标是________

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空间向量及其运算

1．空间向量的概念

1.向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 3.表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

?1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF的值. 2.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1?AD?xAB?yAA1，求x－y4.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

5.共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

?????6.共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条

??中，M为AC与BD的交点，若A1B1?a，A1D1?b，A1A?c，则下??列向量中与B1M相等的向量是 ( )。 A．?1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c 2222ABA D C C???件是存在实数对x、y，使p?xa?yb.①

???7.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在

C．1a?1b＋c 22 D．?1a?1b＋c 22B 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大是 。 一个唯一的有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

????题型1：空间向量的概念及性质

????例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b????????????的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，????????那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，

空间向量的坐标运算 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题） 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位???正交基底，用{i,j,k}表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底??????以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x{i,j,k}，z也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③ 例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，MD1MB1C1A(x,y,z)kixOjy轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系???O?xyz，点O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的??????????为A1C1与B1D1的交点。若AB?a，AD?b，

?????AA1?c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

AA1平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； CDB2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐1?1??1?1??1?1??11a?b?c (C)?a?b?c (D)a?b?c (A)?a?b?c (B)22222222（二）强化巩固导练

标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． 3、设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)(1) a±b＝ 。 (2) ?a＝ ．(3) a2b＝ ． 第4页 共9页

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