(4) a∥b? ；a?b? ．
（2a－b）2a=_____.
（5）模长公式：若????a?(a1,a2,a3)， 则|a|?a?a?a221?a2?a23．
（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都
（6）夹角公式：????cosa?b??a?b??ab?11?a2b2?a3b3|a|?|b|a2222． 等于4。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求
1?a222?a3b1?b2?b3
（7）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
????????|AB?|2A?B2 2(?1x)x?2(2?1y)y?2 (2?1z)z
(8) 设A?(x1,y1,z1),B?(x2,y2,z2) （二）强化巩固导练
则AB＝ ，AB? ．
1.有4个命题：
①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；
AB的中点M的坐标为 ．
4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ ③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？
其中真命题的个数是（ ）。A.1 B.2
C.3
D.4
例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），若它们平行则（ ）
2.下列命题中是真命题的是( )。
A. a：|a|=b：|b| B.a12b1=a22b2=a32b3 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 C.aB.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb （2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）
C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）
D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（ ）。 C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) A.x=1,y=1
B.x=112，y=-2
D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)
C.x=1313例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，6，y=-2
D.x=-6，y=2
（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值. 4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA2QB取最小 值时，点Q的坐标是 .
立体几何中的向量方法 -------空间夹角
空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是 。 题型2：数量积
（2）直线与平面所成的角的范围是 。
（3）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指 。
例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则
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运用法向量求空间角
求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0。 1.向量法求空间两条异面直线a, b所成角θ，只要在两条异面直线a, b上各任取一个 向量????????????????AA'和BB'，则角
, 不需要用法向量。
2、运用法向量求直线和平面所成角 ?A 设平面α的法向量为n=（x, y, 1)，则直线
AB和平面α所成的角θ的正弦值为
n 2． (2011·全国高考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点， 则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________． α
3、运用法向量求二面角
3．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
设二面角的两个面的法向量为???????????????(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.
n1,n2，则
平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??。
平面的法向量 如果a??，那么向量a叫做平面?的法向量。
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相
关
立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：
4．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，，AB1与A1B相交于点D，
在给定的空间直角坐标系中，设平面?的法向量n?(x,y,1)[或n?(x,1,z)，或
M为B1C1的中点.
n?(1,y,z)]，在平面?内任找两个不共线的向量a,b。由n??，得n?a?0且 （1）求证：CD⊥平面BDM；
n?b?0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。有时为了需要，也求法
（2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.
向量n上的单位法向量nn z 0，则n0?C1 n。
D1AB1 1
例1 在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，
C
D 第6页 共9页
A B y x
—————————————线———————————————封——————————————密———————————
练习：
3．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA?底面ABCD，AB?3，BC?1，PA?2， V1．已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面
E为PD的中点.
DCABCD，且PA?AD?DC?12，AB?1，M是PB的中点。
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
AB （Ⅰ）证明：面PAD?面PCD；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
并求出点N到AB和AP的距离.
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
立体几何中的向量方法 -------空间距离
空间的距离
（1）点到直线的距离： E
（2）异面直线间的距离： a
（3）直线到平面的距离：
（4）平面与平面间的距离： 2．如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,
空间向量法求距离
平面VAD?底面ABCD．
（1）用法向量求异面直线间的距离
（Ⅰ）证明：AB?平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b 的法向量，DB所成的二面角的大小．
证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. 点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是
b
F EF?nd? ；
A n n （2）用法向量求点到平面的距离
C B 如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，n为平α 面
α的法向量，则 A到平面α的距离为 ；
（3）用法向量求直线到平面间的距离
（4）用法向量求两平行平面间的距离
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例题：
练习
1、已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点. （1） 1．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中
证明EF为BD1与CC1的公垂线; （2）求点D1到面BDE的距离. AB?4,BC?2,CC 1?3,BE?1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC 1F的距离.
2、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是 AB和BC的中点，
（1）求D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离
2．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1，中，AD?AA1?1,AB?2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D
1E?A1D；
3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图） （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （1）求证：平面A1BC1//平面ACD1； D1C1 （3）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为?4.
（2）求（1）中两个平行平面间的距离；
A1 （3）求点BB11到平面A1BC1的距离。 DC
AB
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—————————————线———————————————封——————————————密———————————
3．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，EA?EB1，已知AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1?（动点，含参数）
1.如图，已知点P在正方体ABCD?A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDA=60°. ?，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.
4．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上一点，PF?EC.
已知PD?2,CD?2,AE?12,
求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离； （Ⅱ）二面角E?PC?D的大小.
3（1）求DP与CC'所成角的大小；
（2）求DP与平面AA'D'D所成角的大小.
D'C'
A'PB'
DC AB
（三视图与空间几何结合）
1.（本小题满分14分）已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论; （3）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．
P E 22 D1
C
A111B正视图侧视图俯视图第 9 页 共 9 页
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