第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
最值问题
函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等．
高考真题 (1)略 (2)当l⊥x轴时不合题意，【关键1：研究直线l与x轴垂直的情况】 x2故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－2代入4＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即【基本不等式法】(2014·高考8k±24k2－33k>时，x1，2＝，【关键2：设出直线方程，并与244k＋1课标全国卷Ⅰ) 已知点A(0，2思维方法 x2y2－2)，椭圆E：2＋2＝ab1(a>b>0)的离心率为3，F2椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出A，B两点的横坐标与参数k的关系式】 4k2＋1·4k2－3从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝. 4k2＋12是椭圆E的右焦点，直线AF23的斜率为，O为坐标原3点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 又点O到直线PQ的距离d＝2， k2＋144k2－31所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.【关键3：用参24k2＋1数k表示面积】 4t44设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝.因为t＋≥4，当4tt＋4t＋t7且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，【关键4：2换元，利用基本不等式求最值】 77所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x22－2或y＝－7x－2. 2
(1)略 (2) ①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0). y＝kx，??2222由?xy得x＝±.记u＝22，则P(u，uk)，1＋2k1＋2k＋＝1??42Q(－u，－uk)，E(u，0). 【关键1：巧换元，妙设点P、Q、E的坐标】 kk于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．【关键2：求直22线QG的方程】 【利用函数的单调性求最值】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与1BM的斜率之积为－.记M2的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； ky＝（x－u），2由22得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0. * xy＋＝142???u（3k2＋2）设G(xG，yG)，则－u和xG是方程*的解，故xG＝，2＋k2uk3由此得yG＝. 2＋k2【关键3：正确求出G点的坐标】 uk3－uk2＋k21(2)过坐标原点的直线交C于从而直线PG的斜率为＝－.【关键4：求直线2ku（3k＋2）－uP，Q两点，点P在第一象限，2＋k2PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值. PG的斜率】 所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形. 2ukk2＋1②由①得|PQ|＝2u1＋k，|PG|＝， 2＋k22【关键5：利用弦长公式求出PQ、PG的表达式】 8k（1＋k2）1所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝2（1＋2k2）（2＋k2）1?8??k＋k?1?1＋2??k＋k?2. 【关键6：将△PQG的面积表示成关于k的函数】 1设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为k8tS＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S1＋2t2
1616取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为. 99
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