本例是一道双动点几何动态题.是近年中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三：
【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin?ABC?2，求BF的长． 3
【答案】
（1）证明：连结OC.
QEC与⊙O相切，C为切点.
o??ECO?90.QOB?OC， ??OCB??OBC.
QOD?DC.?DB?DC. 直线OE是线段BC的垂直平分线.
?EB?EC.??ECB??EBC.
??ECO??EBO.o??EBO?90. QAB是⊙O的直径. ?BE与⊙O相切.
（2）解：过点D作DM?AB于点M，则DM∥FB. 在Rt?ODB中，
2Q?ODB?90o，OB?9， sin?ABC?， 3
?OD?OB?sin?ABC?6. 由勾股定理得BD?OB2?OD2?35. 在Rt?DMB中，同理得
DM?BD?sin?ABC?25.BM?BD?DM?5.22
QO是AB的中点，
?AB?18.
?AM?AB?BM?13. QDM∥FB， ∴△AMD∽△ABF MDAM?.BFAB MD?AB365?BF??AM13?
类型三、与圆有关的计算
4．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆
O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值； （2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
【思路点拨】
（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【答案与解析】
解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形． 所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形， 所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；
2
（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）=3：4．
【总结升华】
计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
举一反三：
【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）
【答案】
解：连接OB、OC；
∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=
=60°，
∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=8m，
∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB=8m， ∴∠OBC=60°， ∴OG=OB?sin∠OBC=8×
=4m，
∴S△OBC=BC?OG=×8×4=16， ∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．
类型四、与圆有关的综合应用
5．（2014?孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．
【思路点拨】
（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．
（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值． 【答案与解析】
（1）证明：连接OD； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°； ∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°， ∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA； 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴∠ODA=∠DAC， ∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°， 即OD⊥EF； 又∵EF过点D， ∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，CD； ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠AFD； ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴BD=CD； 设BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切线，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC， ∴△CDF∽△ABD∽△ADF， ∴
=
，
=
； =，
∵sin∠ABC=
∴设AC=3，AB=4， ∴
=
，则a2=4，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得 DF2=CD2﹣CF2=4﹣1； 又∵
=
，
∴4﹣1=1×（1+3）， ∴=2，
∴AB=4=8，AC=3=6； ∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF， ∴
=
，
=，AE=
，
=
．
=
．
∴在Rt△AEF中，EF=
综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和
【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用． 举一反三：
【变式】（2015?宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．
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