北师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)

三者之间有何数量关系，并给予证明．

【思路点拨】

（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°， ∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB． （3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°． 所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．

【答案与解析】

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，

连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC， ∴△PCE是等边三角形， ∴CE=PC，∠E=60°；

又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP， ∴∠BCE=∠ACP，

∵△ABC、△ECP为等边三角形， ∴CE=PC，AC=BC，

∴△BEC≌△APC（SAS）， ∴PA=BE=PB+PC．

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E． ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3，

又∵∠APB=45°， ∴BP=BE，∴； 又∵AB=BC，

∴△ABE≌△CBP， ∴PC=AE． ∴． （3）答：；

证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC， 连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC， ∴△ABQ≌△CBP， ∴BQ=BP． ∴MP=QM，

又∵∠APB=30°， ∴cos30°=∴PM=

PB，

，

∴ ∴ 【总结升华】

本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题． 举一反三：

【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON， 求∠MON的度数；

（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…

正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是 ，图③中∠MON的度数是 ；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是 ；

（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .

【答案】

解：（1）连接OB、OC； ∵△ABC是⊙O的内接正三角形，

∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°； 又∵BM=CN， ∴△OBM≌△OCN， ∴∠MOB=∠NOC， ∴∠MON=∠BOC=120°； （2）90°；72°；360?． n（3）1. 5