用导数巧解物理问题

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用导数巧解物理问题

作者：王建荣

来源：《新一代》2016年第14期

摘 要：“导数”是高中数学中的重要内容，在物理学习中恰当运用导数这一数学工具，可以简化对物理问题的分析过程，提升思维层次，深化对物理问题的理解，让学生深刻理解数学在物理中的价值，培养学生运用数学知识解决物理问题的能力。 关键词：导数；物理问题

在物理学中，我们时常要研究一个物理量相对于另一物理量变化的快慢程度，求物理图像上某一点的切线斜率及计算某物理量的最值。物理上称之为求变化率问题，而数学上叫做求导数。用求导的方法可以非常简便的处理一些复杂的物理问题。 一、求物理量的最值

例1：如图1，在纯电阻电路中，求电源的最大输出功率。

解析：由闭合电路的欧姆定律得，P出=IU=I2R= R，求P出关于外电阻R的导数P出，令P出=0，则有：P出= =0，即，（R+r）2-2（R+r）R=0，R=r。可见当外电阻R=r时，输出功率有最大值P出= 。

求物理过程的临界条件，物理量的变化范围等最值问题，都可用求导方法f'（x）=0求得最值条件，再代入原函数解得最值。 二、研究物理量的变化率

例2：如图2，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10？赘/m，导轨的端点P，Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20m，有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间的关系为B=kt，比例系数k=0.02T/S。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P，Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0S时金属杆所受的安培力。

解析：金属杆向左加速运动时，引起闭合电路磁通量的变化，因而产生感应电动势和感应电流。通电的金属杆将会受到向右的安培力的作用。

因此，解题的关键是必须先要求出闭合电路中产生的感应电动势。由于本题中闭合电路的面积S和磁感应强度B都随时间变化，因此不能单纯的用切割磁感线的方法：E=Blv处理，而要用感应电动势的定义式和求导的方法：E= =？渍'来求解较为简便。