π(2)由B＝A＋得 2?π?3cosB＝cos?A＋?＝－sinA＝－， 2?3?由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)． 所以sinC＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB 3?663??＝×?－?＋× ?3?3?331＝. 3因此△ABC的面积 11132S＝absinC＝×3×32×＝. 2232 B组 能力提升 11．若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBb＋bcosA＝2a，则＝( ) a2A．23 B．22 C.3 D.2 解析：由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，故sinB＝2sinA，所以＝2. 答案：D 12．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则baa－2b＋c＝________. sinA－2sinB＋sinC解析：∵A∶B∶C＝1∶2∶3，
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∴A＝30°，B＝60°，C＝90°. ∵asinA＝bsinB＝csinC＝1sin30°＝2， ∴a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC. ∴a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝2. 答案：2 13. 如图，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠β. (1)证明：sinα＋cos2β＝0； (2)若AC＝3DC，求β的值． 解：(1)证明：∵α＝ππ2－(π－2β)＝2β－2， ∴sinα＝sin??π??2β－2??＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0. (2)解：在△ADC中，由正弦定理， 得DCsinα＝ACsinπ－β， 即DCsinα＝3DCsinβ，∴sinβ＝3sinα. 由(1)得sinα＝－cos2β， ∴sinβ＝－3cos2β＝－3(1－2sin2β)， 由23sin2β－sinβ－3＝0， 解得sinβ＝32或sinβ＝－33. ∵0<β<π32，∴sinβ＝π2，∴β＝3. ABC- 6 -
＝ a＋bsinB14．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cosC＝1asinB－sinA－cos2C. (1)试确定△ABC的形状； (2)求a＋cb的取值范围． 解：(1)∵a＋ba＝sinBsinB－sinA，∴a＋ba＝bb－a， ∴b2－a2＝ab. ∵cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C， ∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C. ∴cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝2sin2C. ∴2sinAsinB＝2sin2C.∴sinAsinB＝sin2C. ∴ab＝c2.∴b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2. ∴△ABC为直角三角形． (2)∵在△ABC中，B＝π2， ∴A＋C＝π2，sinC＝cosA. ∵a＋cb＝sinA＋sinCsinB＝sinA＋sinC＝sinA＋cosA， sinπ2∴a＋c?π?b＝2sin??A＋4??. ∵0 - 7 -
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