【题型分类】
【1、数字问题】
1、正整数规律：1、2、3、4、、、、、可以表示为n（其中n为正整数） 2、奇数规律：1、3、5、7、、、、、可以表示为2n?1（其中n为正整数） 3、偶数规律：2、4、6、8、、、、、可以表示为2n（其中n为正整数） 4、正、负交替规律变化
一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替 （1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(?1)n （2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为(?1)n?1 5、平方数规律
1、4、9、16、、、、可以表示为n2（其中n为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-2 6、等差数列常识
按一定次序排列的一列数就叫数列。例如：
（1） 1，2，3，4，5，6，… （2） 1，2，4，8，16，32；
A、一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列（1）的第3项是3，数列（2）的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。
B、数列中的数可以是有限多个，如数列（2）（4），也可以是无限多个，如数列（1）（3）（带省略号）。
概念：干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项（记作：a1），最后一项称为末项（记作：an）。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差（记作：d）。其中：an?a1?(n?1)d， n?an?a1d?1，数列的和S(a1?an)?nn?2 （记得住就记，记不住就推理） 方法说明：
掌握3个原则：①数据表面上看来排列无序，且形式不一致，
那么要进行数据变形，使之形式一致；②一组数中的每个数进行数据分解，有时可快速得出规律；③对数据做一些简单的运算看出规律，如：加一加、减一减，乘一乘、除一除
例1 观察一列数：1，－34,579119,?16,25,?36,……根据规律，请你写
出第10个数是 。
解： 正负控制：(?1)n?1 形式一致：1,3,5,714916......， 分子规律：
2n?1 分母规律：n2
则该数列的规律为：(2n?1)(?1)n?119n2 ，令n=10，第10个数为：?100
例2 古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，… 叫做三角形数，根据它的规律，则第100个与第98个的差为 ________ 解：第1个数：1 第2个数：1+2=3 第3个数：1+2+3=6 第4个数：1+2+3+4=10 依次类推。。。。。。
第98个数：1+2+3+….+98 第100个数：1+2+3+…+100
则第100个与第98个的差为：100+99=199 练习：
（1）观察一列数：1234562，?5，10，?17，26，?37……根据规律，
请你写出第10个数是？
解：正负控制：(?1)n?1 分子规律：n 分母规律
2?12?1，5?22?1，10?32?1，以此类推………
则该数列的规律为：n?(?1)n?110n2?1，令n=10，第10个数为：?101
（2）按一定规律排列的一列数依次为?112，，3?110，115，?126，135，?，按此规律排列下去，这列数中第七个数是
解：正负控制：(?1)n 分子规律：1 分母：2,3,10,15……. 分母规律：2?12?1,3?22?1,10?32?1,15?42?1，以此类推：n2?(?1)n (?1)n则该数列的规律为：n2?(?1)n，令n=7，第7个数为：?150
（3）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活数是____，n小时后细胞存活数是____ 解：读题该数列为： 3，5，9，17……..（一般一个数列知道前3个可推出规律，再知道第4个进行验证）
不难发现：3?21?1,5?22?1,9?23?1......，故该数列规律：2n?1 令n=5，第5个数为：25?1?32?1?33
【2、图形规律】
根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。解决图形规律问题的方法有两种：一种是数形结合，将图形转化成数字规律，用数字规律的解决问题；一种是通过图形的直观性，观察图
形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。
例3 观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A、3n?2 B、3n?1 C、4n?1 D、4n?3 解：第1个图：1=1+4×0 第2个图：1+4=1+4×1 第3个图：1+4+4=1+4×2
以此类推 第n个图：1+4×（n－1）=4n－3 例4 若按下图方式摆放餐桌和椅子，请探索规律并填表： 餐桌张数 1 2 3 4 ….. 10 n 可坐人数 6+4×0 6+4×1=10 6+4×2=14 18 ….. 42 4n?2 练习：
（1）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ）
……
第1个
第2个
第3个
A、2n?2 B、4n?4 C、4n?4
D、4n
解：第1个图：4个 第2个图：8个 第3个图：12个 规律：4n
（2） 如图是一组有规律的图案， 第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……第8个图案由_____个基础图形组成，第n(n是正整数)个图案中由 ___ 个基础图形组成。 ……
(1)
(2)
(3)
解：第1个图：4=4+3×0
第2个图：4+3=4+3×1 第3个图：4+3+3=4+3×2
以此类推，第n个图：4+3×（n－1）=3n+1， 令n=8，第8个图：3×8+1=25
（3） 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．
……
（1）
（2）
（3）
……
解：第1个图：5=5+3×0
第2个图：5+3=5+3×1 第3个图：5+3+3=5+3×2
以此类推，第n个图：5+3×（n－1）=3n+2
【3、循环排列规律】
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可，关键是找出“循环节数”。其次，就是利用“余数”。 9
8例5 如图所示，数轴被折成90?，圆的周长34567为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字
32010，1，2，3。先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上
的数2009将与圆周上的数字 重合。
解： 2与3 重合， 1与4重合，0与5重合，3月6重合，接着2与7重合，1与8重合，0与9重合，3与10重合，以此类推……
发现：数轴上的数只能与2、1、0、3这4个数中的一个数重合，这4个数（2,1,0,3,2,1,0,3……..）反复的在数轴上循环出现，而3到2009间有：2009－3+1=2007个数，2007÷4=501 余数3. 也就是说2、1、0、3这4个数循环了501次，还要多走3个。当余数为0，说明正好循环，对应数与3重合。余数为1则与2重合，余数为2则与1重合，余数为3则与0重合。本题与数字0重合。
例6 手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图
中
箭
头
所
指
方
向
（
即
A→B→C→D→C→B→A→B→C…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是____；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是____；当字母C第2n+1次出现时（n为
正整数），恰好数到的数是_______（用含n的代数式表示）． 解：由题知：A→B→C→D→C→B→ …… 对应数：1 2 3 4 5 6 ……
也就是说字母循环节数为“6”，每数6个数后，字母将循环出现
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