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第五章 抽象与概括
学习要求
1．了解抽象、概括的含义以及概括与抽象的关系； 2．掌握抽象过程、概括过程和常用的数学抽象方式。 主要内容指导
一、抽象的含义及其过程
抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的,偶然的非本质属性,抽取普遍的,必然的本质属性,形成科学概念,从而把握事物的本质和规律.
人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不 考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。 二、概括的含义及其过程
概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。 ，
概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
比较和区分的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中,通过比较和区分要得到的是某类对象的共同本质。
扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。
三、抽象和概括的区别
抽象从感性认识出发，通过分析和舍弃，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过收括得出简单的、基本的规定，即合理的抽象。
概括在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念
四、数学抽象的特征
1．数学抽象具有无物质性； 2．数学抽象具有层次性；
3．数学抽象过程要凭借分析或直觉；
4．数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。 五、常用的数学抽象方式
1．弱抽象是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象成比原型更为一般的概念或理论。
2．强抽象是指通过把一些新的特征加人到某新概念中从而形而形成的新概念的抽象过程。
3．理想化抽象(或称构造性抽象)是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象(数学概念)的思维过程。
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4．公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾(悖论)而形成的一种数学抽象。
5．可实现性抽象是理想化抽象的一个特殊情况。通过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为了可能。
思考题：举例说明抽象与概括的具体过程?以教学循环小数的概念为例，说明抽象过程的几个基本环节的具体情况?
第六章 猜想与反驳
学习要求
1．理解归纳、类比的含义及其推理形式；
2．掌握归纳猜想、类比猜想方法及猜想能力的培养； 3．熟练掌握反例在教学中的应用。 主要内容指导
1. 归纳
归纳是通过各种手段(观察、实验)分析、比较等)对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。
归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。 完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法.
在数学中运用完全归纳法往往会遇到困难，这不仅是因为在我们所考察的事物中，有些含有无限多个对象而又不能进行有限的分类，从而不能使用穷举法，而且穷举那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件轻而易举的事，所以人们往往只根据部分对象具有某种属性 作出概括。这种根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法.
从数学发展史可以清楚地看到，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材料的时期，从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或原理，这是数学工作中最初步的，然而又是基本的工作。高斯说过他的 许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。
2．类比
类比是根据两个或两类事物具有某些相同或相似的属性，其中一个(类)事物已知还具有另一属性，从而推出另一个(类)事物也可能具有这—相同或相似的属性。可见，类比是用以进行推理的一种思维方法，用这样的思维方法进行推理通常就叫类比推理，有时简称类 比或类推。
类比是理性思维的一种本能，它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性，可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。因此，类比是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效的思维方法。正如贝弗里奇说的“独创性常常在于发现原来认为没有关系的两个或两个以上的研究对象或设想之间的联系或相似之点。”不难找出科学上许多重要学说、重大发现和创造发明或是由类比推理提出的，或是由类比思维提供了线索。比如近代科技中应用广泛的“仿生学”就是建立在类比推理所揭示的原理基础上的一门新兴科学。可见，在小学数学教学中，有意识地培养以至强化小学生的类比思维能力，使他们体验到发现和创新的快乐，对于发展他们的智能，激发他们学习数学的兴趣无疑是很有意义的。
3．猜想
数学猜想，是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似
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真的推断。它既有一定的科学性，又有某种假定性。它的真伪性，一般说来，是难以一时解决的。它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要的思维形式。从每一个数学成果都有一个由“潜”到“显”的过程来看，数学猜想同数学问题、数学悖论一样，是一种数学潜形态。研究与阐述数学猜想的类型、特征以及提出与解决的主要思想方法对把握数学的本质及其发展规律，有着重要的意义。
二、归纳猜想及类比猜想概述
依据一类事物中的特殊对象的实验事实，通过归纳对这类事物的一般属性进行猜想，这样的思维方法叫归纳猜想。其模式： 实验——归纳——猜想。
著名的歌德巴赫猜想就是归纳猜想的典型例子。
依据已知条件，联想与之相似的事物，通过比较,类比，对其结论进行推测，这样的思维方法叫类比猜想。其模式：
联想——类比——猜想。 · 三；反例反驳概述
反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。例如：意大利科学家伽利略在发现自由落体公式时，针对亚里士多德以来一直被当成“真理”的“物体越重，下落速度越快”这一传统观点指出：如果一块轻石头A加在一块重石头B上一起下落，那么根据“物体越重，下落速度越快”的断定，就会导致两个矛盾的结论：一是(A+B) 比B重， 因此， (A+B)的下落速度比B快。二是速度是慢的A加在速度快的B上，就会减低B的下落速度，因此，(A+B)的下落速度比B慢。由此可见，这就是对“物体越重，下落速度越快”这一判断的虚假性的一个反驳。
反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性，反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。
教学中常用的反驳法有以下三种：
(1)构造一反例。即举出一个例子,说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。 例如十七世纪法国杰出的数学家费尔马对形如An=22n+1的数进行了探讨。当n=0，1，2，3，4时，它们分别是质数：3、5、17、257、65537。因而他提出猜测：”是所有自然数时An都是质数。
过了半个多世纪，到十八世纪时，欧拉首先找到了一个反例，计算出n=5时，An＝4294967297=641 X6700417是一个合数，从而否定了费尔马的这个猜想。
(2)假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的 例如证明“零可以作除数”是错误的。 证明：因为2-2=3-3即2(1-1) =3(1-1)
若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显然荒谬。 “零可以作除数”是错误的。
又如证明“能将1010写成10个连续自然数之和”是错误。
证明：如果1010能写10个连续自然数之和，那么中间两个数的和应当是1010÷5=202 若中间两个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于202。 所以，能将1010写成10个连续自然数之和是错误的。
(3)论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的。
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思考题： (1)计算3，33，333，-----分析计算结果呈现的规律，猜想333333=? (2)判断“除数比1小时，商就大于被除数”是否正确，若不正确举出反例。
(3)判断“任何整数都可以化为分母为自然数的假分数”是否正确，若不正确举出反例。 (4)举例说明“猜想”的思维过程。
第七章 演绎与化归
学习要求
1．了解公理方法、化归方法的含义； 2．理解公理方法的作用和意义；
3. 熟练掌握化归方法的基本原则和实现化归的常用途径. 主要内容指导
一、演绎推理要点
演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然性推理。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统。演绎推理也是发展假设和理论的一个必要环节。19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。
演绎推理依据导出新判断(结论)的已知判断(前提)是否唯一或是否联言可分为直接推理与间接推理。而按前提与结论之间的结构关系则具体形式主要有三段论、假言推理、选言推理、关系推理等。在数学中最为基础且应用较多的则是三段论，这里我们作简要的介绍。
所谓“三段论”就是由两个判断(其中至少有一个是全称判断)得出第三个判断的一种推理方法。
例如，凡同边数的正多边形都是相似的，这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。
这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则,叫做三段论式的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况,叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系,因而得出的第三个判断，叫做结论。
任何一个三段论，都是由三个判断组成。而这三个判断中只含有三个不同的概念，其基本模式为：
大前提：一切M都是(或非P)； 小前提：S是M； 结论：S是(或非P)。 二、公理化方法要点
我们以代数为例来说明公理化方法的要点。考察定义两个二元运算“+”、“．”的元素集合M，称M是一个布尔代数，它有下列性质
1. 运算“+”、“．”满足交换律 2. 对运算“+”、“．”在M中存在一个单位元，分别称0和1； 3. 每一运算关于另一个的分配律成立；
4. 对M中的每一元素a，存在M中的另一元素a’，，成立： a+a’=1和a?a’=0； 5. 对M中的每一元素a，有 a+a= a 和a?a=a
6. 对布尔代数M中的所有a，b，有
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