开始给出学习样本P给出迭代计算精度标准E，迭代次数T，产生随机权值w，vt=1k=1按（2-5），（2-6）进行正向计算k=k+1计算误差按（2-15），（2-23）进行反向计算并调整权值k>Pt=t+1Y按（2-8）计算全局误差Y是否满足精度要求ENt>TY结束NN 图2-3 BP算法程序流程图
Figure 2-3 Program flow diagram of BP algorithm
2.3 小波变换基本理论
小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支，具有多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis简称MRA）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。它在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为分析信号的显微镜。小波分析还可以检测出许多其它分析方法忽略的信号特性，例如：信号的趋势、信号的高阶不连续点、自相似特性等。因此，可以利用小波变换对故障信号进行预处理，提取更能反映信号特征的信息作为神经网
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络的输入，可以提高神经网络的故障诊断的能力。
小波分析是泛函分析、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美结晶；特别是在信号处理、图像处理、语音分析以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后又一有效的时频分析方法。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统Fourier分析的不足，而且由于它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。近年来小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，如多函数小波，M带小波等，同时也从另外一个角度去放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，如滤波器组、平移正交小波等，使得小波理论不断完善，其应用领域也越来越广泛。
小波分析与Fourier分析的本质区别在于：Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数表示信号；小波分析则利用联合时间——尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的区别在于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间——尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。 一 连续小波变换 小波分析的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函数称为小波函数系，它是通过一基本小波函数的不同尺度的平移和伸缩构成的。
将任意L2(R)空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换（Continue Wavelet Transform，简称为CWT）。
定义：设?(t)?L，其傅立叶变换为?(?)满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）
^22^?(?) C???R?d??? （2-24）
时，我们称?(t)为一个基本小波或母小波。将母小波?(t)伸缩和平移后得：
?a,b(t)?1a?(t?b ) a,b?R （2-25） ;a?0a- 19 -
称其为一个小波序列，其中a为伸缩因子，b为平移因子又称时移参数。
对于任意的函数f(t)的连续小波变换为：
1*?t?b??ft(?),t(?)ft?(?)?dt （2-26） WTf(a,b)a,b?aR?a?其逆变换为：
1f(t)?C??da1t?bWT(a,b)?()d? （2-27） f2??aaa0???由以上定义，可以看出小波变换和傅里叶变换一样，也是一种积分变换，
WTf(a,b)为小波变换系数，但它不同于傅里叶变换的地方，小波基具有尺度a和平移b两个参数，所以函数一经小波变换，就意味着将一个时间函数投影到
二维的时间—尺度相平面上，这样有利于提取信号函数的某些本质特征。 小波?(t)的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的（Compact Support），即在一个很小的区间之外，函数值为零；函数应有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。
连续小波变换式（2-26）是用内积来表示的，而数学上的内积表示f(t)与?a,b(t)的相似程度，所以由式（2-26）可知，当尺度a增加时，表示以伸展了的波形去观察整个f(t)；反之，当尺度a减小时，则以压缩的波形去衡量f(t)的局部。可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例（尺度）参数看全局而小的比例（尺度）参数看局部细节。
二 离散小波变换
连续小波变换计算量大、存储量大，主要用于理论分析方面。在实际应用
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中，尤其在计算机上实现时，连续小波变换必须加以离散化。因此，需要对
m尺度参数a和定位参数b进行离散化处理，可以选取a?a0，m是整数，a0总假定是大于1的固定伸缩步长（由于m可取正也可以取负，因此这个假定无关
m紧要）。对于b，可选b?nb0a0，此处b0?0且与小波?(t)具体形式有关，而nm为整数。选择适当的放大倍数a0，在一个特定的位置研究一个函数或信号过程，然后再平移到另一个位置继续研究，如果放大倍数过大，也就是尺度过小，我们就可按小步长移动一个距离；反之亦然。而该放大倍数的离散化则由上述平移定位参数b的离散化方法来实现，于是离散小波可以定义为：
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?m,n(t)?1m?t?nb0a0??mma0?a0?? ? ?a02?(a?0mt?nb)0 （2-28）
相应的小波变换为：
?mf,?m,n??a∞?m20-∞∞-∞f(t)?m,n(t)dt?
??mf(t)?m,n(a0t?nb0)dt （2-29）
式（2-29）就称为离散小波变换。这里m，n分别称为频率范围指数和时
m间步长变换指数，当f(t)给定后，?m,n(t)正比于a0，高频时m?0，?m,n则高度集中，反之亦然。步长的变化则与n成正比。
其重构公式为：
f(t)?C??Cm,n?m,n(t) （2-30）
-∞-∞∞∞其中，C是一个与信号无关的常数。
选择a0=2，b0=1，则式（2-28）变成为二进离散小波
?m,n(t)?2?(2?mt?n) （2-31）
二进小波变换定义为：
∞?m2dm,n??反变换为：
-∞f(t)?m,n(t)dt （2-32）
f(t)???dm,n?m,n(t) （2-33）
mn由上面的分析可见，二进小波变换就是将任意函数f(t)?L2(R)用一系列小波函数和展开，任一展开函数都是由一小波基函数的伸缩得到，其中m称为伸缩因子（尺度因子）。随着m的变化，可以得到函数在不同尺度下的展开特性（即函数在不同尺度空间的投影）。尺度越小，空间分辨率越高，因此二进小波又可称为多尺度分析或多分辨率分析。
在小波变换中，并不是随便一个函数都可以成为小波基函数，但也不是唯一的，要满足非常严格的限制条件才可以成为可用的小波函数。小波应具有振
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