3?Wj?U2j?1?Uj?1?4567W?U?U?U?Uj?2j?2j?2j?2?j????W?U2k?1?U2k?1???U2k?1j?kj?kj?k?j （2-44）
?m?0,1,?2,k?m? U23,j?k?k?1,2,??j?1,2,?3,??m子空间U2j?k对应的规范正交基为：
kk?,21 （2-45）
k??j???(j?k)22w[2t?l]?? （2-46） 2k?m??l?Z1?m当k?0和m?0时，子空间U2j?k还原为Uj?Wj，其正交基就是小波基，
k??2j?即?2?(2?jt?l)?。下面用图表示式（2-44）的分解过程，图2-6中对应??l?Zj?1~3的Wj进行了分解。
定义（小波库）由?n(t)生成的函数族?为由尺度函数?(t)构造的小波库。
推论 对于每一个j?0,1,2,...
j,kn(t)（其中n?Z?；j,k?Z）称
L2(R)??Wj?…?W?1?W0?W02?W03?… （2-47）
j?Z这时，族：?uj,k,un(t?k)|j?...,?1,0;n?2,3,...且k?Z? （2-48）
V0V1V2V3w3u32w2u33u34u22u35w1u23u36u37
图2-6 三层小波包分解树结构
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Figure 2-6 Structure of wavelet packets transform tree
是L2(R)的一个正交基。
随着尺度j的增大，相应正交小波基函数的空间分辨率愈高，而其频率分辨率愈低，这正是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随j增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的不足。小波包可以对Wj进一步分解，从而提高频率分辨率，是一种比多分辨分析更加精细的分析方法。显然，一个信号经完整小波包分解，实质上是将原信号在整个空间展开的过程，从数据结构来看，它是一种二分树结构；从数据分解关系来看，他是一种递推算法；从空间分解关系来看，它把正交小波分解的子空间作进一步细分；从频域划分来看，它将有限频带细分为若干更细频带的组合。
若信号f(t)的正交小波分解的公式为：
f(?)t Pj?1f(t)?PjjD( f ) t （2-49）
其中：
(j)Pjf(t)??xk?jk(t)
kDjf(t)??dk(j)?jk(t)
k(j)系数xk和dk(j)的递推公式为：
(j)(j?1)?xk??h0(2n?k)xn?n （2-50） ?(j)(j?1)?dk??h1(2n?k)dnn?正交小波的重建公式为：
(j)(j?1)xk??h0(2n?k)xk??h1(2n?k)dk(j?1)
kk(j?1)??g0(n?2k)xk??g1(2n?k)dk(j?1) （2-51） kkn设Gnjf(t)?Uj
j,nGn?jf(t)??dll1wn(2?jt?l) （2-52） 2j- 27 -
2n2n?1因为Gnjf(t)?Gj?1f(t)?Gj?1f(t)，所以小波包系数递推公式为：
?dkj?1,2n??h0(2l?k)dlj,n?l （2-53） ?j?1,2n?1j,n??h1(2l?k)dl?dkl?可得小波包的重建公式为：
dlj,n??[h0(l?2k)dkj?1,2n?h1(l?2k)dkj?1,2n?1
k ??g0(l?2k)dkj?1,n2??g1(l?2k)dkj?kk1n?,2 （2-54）
由以上可得小波包的特点：
（1）信号的分频带特征随小波包空间的变化而变化。
（2）各小波包空间在继续分解时，其算法和小波分解算法一样，所以，信号经小波包分解后，可得到在各频带上的时域信号，但其长度减半。
（3）采用不同小波函数对信号分析的结果相差不大，但各有各的优势。 （4）信号经小波包分解后，还可以由各分解后的子信号重建。
因此，小波包分解是一种更为精细的分解方法。由于小波包具有这种精确刻画高频信号的能力，从而能更加精细地刻画信号在不同频带的局部信息。因此，利用小波包变换，在多层分解后的不同频带内分析信号，可以使不明显的信号频率特征在不同分辨率的若干子空间中以显著的能量变化形式表现出来。
2.4 本章小结
本章首先阐述了神经网络理论的基本原理、特性以及运用最广泛的BP神经网络的模型结构和算法。由于BP多层前馈网络在非线性逼近上功能尤其强大，精度任意，因此理论上只要神经元足够多，就能够逼近任意复杂的非线性系统。因此用BP网络来分析故障特征，进行故障诊断非常合适。但是在训练时，学习速率和训练算法对网络的性能都是有影响的，而且BP网络对隐含层的神经元数目也是敏感的，所以选择合适的神经网络拓扑结构及算法尤为重要，后面章节将做详细介绍。
其次阐述了小波理论的时频分析、连续小波、离散小波等基础理论。从小波的广义角度来研究模拟电路信号特征提取。小波分解的一个非常重要的优点
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就在于其分解后所得分量包含了原信号的所有特征，这一点是传统数字滤波和FFT无法做到的。小波变换实质是一组共轭正交滤波器，对信号f(x)分析时，对于高频谱信息，时间间隔相对小时能给出较好的精度；而对低频谱信息，时间间隔相对宽时能给出完全的信息。在以后的章节里我们将利用小波变换提取模拟电路的故障特征量，从样本信号中提取尽可能少的特征量，而且这些特征量完全包含电路各个故障状态特征。
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