2005年高考理科数学试题及答案(湖北)

由已知不等式知，当n≥3时有，

111??[log2n]. ana12∵a1?b,?2?b[log2n]111??[log2n]?.anb22ban?2b.

2?b[log2n]证法2：设f(n)?111????，首先利用数学归纳法证不等式 23nan?b,n?3,4,5,?.

1?f(n)b （i）当n=3时， 由 a3?3a233b???. 32?a3?a21?f(3)b1?13??1a22a1知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak?b,

1?f(k)b则ak?1?(k?1)akk?1k?1?? (k?1)1?f(k)b(k?1)?ak?1(k?1)??1akbb1?(f(k)?1)bk?1?b,

1?f(k?1)b?(k?1)b?(k?1)?(k?1)f(k)b?b即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）、（ii）知，an?b,n?3,4,5,?.

1?f(n)b又由已知不等式得 an?b11?[lo2gn]b2?2b,n?3,4,5,?.

2?b[lo2gn] （Ⅱ）有极限，且liman?0.

n?? （Ⅲ）∵

2b221?,令?,

2?b[log2n][log2n][log2n]510则有log2n?[log2n]?10,?n?2?1024,

1. 5故取N=1024，可使当n>N时，都有an?