平面向量及其应用 - 图文

解：如图,设N(x,y)是所求切线上的任意一点，则MN?(x?6,y?9)，

O?M?(1,3),因为MN⊥O?M，

????????????

图3-1

6)(3?9)0y?所以MN?O?M=0，即(x???????????，此即为所求切线的方程(即使是N,M????重合时，仍有MN?O?M=0，因为此时MN=0．

???4 应用平面向量的解题策略

4.1 运用向量法、几何法和坐标法

向量是数形结合的产物，它不仅具有代数的抽象性与严谨性，也兼具几何的形象与直观，所以向量是沟通代数与几何的一种重要工具，有着非常广泛的应用.其中向量法、几何法和坐标法是研究与解决向量问题的三种重要的方法．

例题15 若非零向量?，?满足???=???，则?与?所成角的大小是多少？

解法一（向量法）：???=????(???)2=???????与?所成的角是90．

2?=0，所以????解法二（几何法）：根据向量和与差的平行四边形的法则可知：???，是以?，?为邻边的平行四边形两条对角线的长度．行四边形是矩形，??与?所成的角是90．

解法三（坐标法）：建立坐标系，令?=（x1，y1），?=（x2，y2），代入

???=???，?该平

???=???得到x1x2+y1y2=0，??与?所成的角是90．

评析：本题的这三个解决方案体现了三种重要的思维方法．解法一是利用向量的模跟数量积的关系，再由向量垂直的充要条件使问题得以解决，体现了向量

10

方法的便捷；解法二是从等式的几何意义出发来构建几何图形，显示出了几何法的形象直观；解法三是通过建立坐标系，突出向量与代数的完美结合的优点．我们可以看出，在解决向量问题的时候，不仅可以从向量本身的特点出发，结合向量运算来解决问题；也可以通过关注向量等式所蕴含的几何意义，直观地得到的解答；还可建立适当的坐标系，从代数的角度出发考虑．因此，向量法、几何法与坐标法三种重要的思维方法是实施向量问题一题多解的基本思维的出发点．

例16 已知OP1 =OP2=OP3=1,求1,OP2,OP3满足OP1+OP2+OP3=0,OP证：?PP12P3是正三角形．

解法一：由OP1=OP2=OP3=1可知O是?PP12P3的外接圆的圆心．要证只需证明?POPOP?PP12P3是正三角形，31,即证明OP12??POP23=?POP1与OP2，2与OP3，OP3与OP1的夹角相等．

OP1+OP2+OP3=0，

?OPOP3,?OP1?OP2=OP1+OP2+2OP3.1+OP2=-OP3．?OP12=OPOPOP1=OP2=OP3=1，?OP12=-1,?OP12222OP2cos?POP12=-

1,即212?2?=-，=.同理可能==，??PPcos?POP?POP?POP?POP?123112P3为等1223233边三角形．

解法二：观察已知条件中的两个等式，联系向量模以及加法的几何意义，可构建图形来证明．如下图所示，设?PP1,OP12P3的外接圆为圆O，以OP2为邻边作平行四边形OPPP又由OP点P在圆O上，从而得到12为菱形．1+OP2=-OP3知，

?POP12=120.同理可得?POP31=?POP12P3为等边三角形． 23=120，??PP 11

图4-1

OP1=OP2=OP3=1，?可令

解法三:以O作为坐标原点来建立坐标系，

sin?）, OPcos?，sin?）.由OP1=（cos?，2=(cos?，sin?)，OP3=（

得cos?+cos?=-cos?；sin?+sin?=-sin?.两式两边平方后OP1+OP2+OP3=0，相加得到：cos(???)=-1. 222(cos??cos?)?(sin??sin?)P==2?2cos(???)=3.同理可得?P12P3P1=P2P3=3,所以?PP12P3为等边三角形．

评析：总之，解决相关向量的问题时，要善于运用向量法、几何法和坐标法，从而加深对向量这一载体本质的认识，体会到运用向量处理问题的优越性.

4.2 重视图形的作用

例17（2012年重庆高考题） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2，且

ABC是面积为4的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过B1做直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2?QB2，求直线l的方程．

12

y l A F1 B1 Q O B2 P F2 x

图4-2

x2y2解：（1）设所求椭圆的标准方程为2?2?1?a?b?0?，右焦点为F2?c,0?．

ab因AB1B2是直角三角形，又AB1?AB2,故?B1AB2为直角，因此OA?OB2,得

b?c．结合c2?a2?b2得4b2?a2?b2，故a2?5b2,c2?4b2，所以离心率2c2e??5．

a5在RtAB1B2中，OA?B1B2，故

SAB1B2?1cB1B2OA?OB2OA?b?b2 22由题设条件SAB1B2?4，得b2?4，从而a2?5b2?20．因此所求椭圆的标准方程

x2y2?1． 为?204（2）由（1）知B1(?2,0),B(2,0)，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的

方程为x?my?2，代入椭圆方程得?m2?5?y2?4my?16?0．

设P?x1,y2?,Q?x2,y2?，则y1,y2是上面方程的两根，因此

4m16y1?y2?2,y1y2??2

m?5m?5又B2P??x1?2,y1?,B2Q??x2?2,y2?，所以

B2PB2Q??x1?2??x2?2??y1y2 ??my1?4??my2?4??y1y2 ??m2?1?y1y2?4m?y1?y2??16

13