例题5
在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的5个方格中的各数之和都相等．
「分析」试着找一下交叉的两个幻和，能否应用“比较法”填出一些格子，进而计算出幻和呢？
比较法就是通过对两条有公共部分的直线进行幻和的比较，从而求出幻方中的一些未知数．这个方法不仅适用于幻方，也适用于一些与幻方类似（相等和数）的数阵图问题．所以比较法在数学学习中是一种很重要的数学思想和解题方法． 例题6
将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上三个圆圈中的数字之和都相等．
「分析」在填写幻方时，我们常常找有公共方格的两条直线进行比较分析，本题我们也可以用类似的方法． 课堂内外
9 3 1 9 3 7 8 2 8 4 3 8 4 6 2 3 0 8 7 神秘的洛书
相传在我国远古的伏羲氏时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇妙的图案，这就是所谓的《河图》．有一只神龟出没于洛水，龟壳上有一些神秘的符号，这就是所谓的《洛书》．伏羲氏知道后，就按照《河图》、《洛书》编制八卦，用以推算历法，预测吉凶等．
在我国的古籍《周易》、《尚书》、《论语》中都有关于《河图》、《洛书》的记载．《周易》的系辞篇里是这样记载的：“河出图，洛出书，圣人则之．”这与上述传说颇相吻合．也许这一记载正是上述传说的来源或记录吧！
明朝的程大位也曾说：“数何肇自图书乎，伏羲氏得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物．”意思是说：“数起源于什么？它起源于河图、洛书吗？伏羲氏得到它后，用它绘制出八卦；大禹得到它后，用客观存在来规划田畴，其客观存在圣贤得到后，用来开发物产．”
那么，河图究竟是一个什么样的图案，洛书究竟是一些什么样的书写符号呢？这在《周易》、《论语》这些典籍中都没有记载．直到宋代，朱熹经解《周易》时，曾派他手下的学者蔡元定去四川，用高价才在民间收购到了华山道士搏传出的《太极图》、《河图》、《洛
书》等．其中《太极图》与现在流传的太极图相同，而《河图》《洛书》则是由一些圆圈点构成的图形，洛书的形状如左下图所示．这与公元前一世纪时我国汉代的《大戴礼》一书中的九宫图相合．所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格．每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相等，等于
?1?2?3?4?5?6?7?8?9??3?15．
这样得到的图就叫九宫图．与洛书相应的九宫图如右下图所示．
作业
1. 用2、4、6、8、10、12、14、16、18这9个数构建一个三阶幻方．
2. 请将1~16填入图中16个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等．现
在已经填入了一些数，请补全这个幻方． 3 16 4 127 13 11 8
3. 请补全下面的三阶幻方．
11 18 27
4. 已知下面这个幻方的幻和等于21，请补完这个三阶幻方．
6
3
5. 将4、6、8、9、10、12、13、14、17填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都
相等．
4 ☆ 14 6
第一讲 从洛书到幻方
1. 例题1
答案：
12 27 6 4 9 2 12 27 6
3 5 7 9 15 21 ×3 9 15 21 8 1 6 24 3 18 24 3 18 详解：这9个数由1~9这9个数乘3得到，因此可根据基本三阶幻方的构建方法，将每个数乘3即可（如右上图）．
2. 例题2
答案：
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4 详解：由第1列可知幻和为7?2?16?9?34，由于每行、每列、每条对角线上和相等，只要某行、某列、某条对角线有三个已知数，就可计算出另一个空格，如第1行第3个数为34?7?12?14?1，其他空格依次类推．
3. 例题3
答案： 4 7
9 6
5 5
7 3 8 详解：通过比较第1列和第2行，发现左上角的数是4，这时幻和就可以通过斜对角线求出来是18．
4. 例题4
答案： 2 9 4 12 10 5 7 5 3 2 9 16
6 1 8 13 8 6
详解：
（1）中间数是5，幻和就是15，接下来可根据幻和来填其它数．
（2）根据幻和是27，可填出幻方中心的数是9，其他可根据幻和依次填出．
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