角动量

质点角动量定理及角动量守恒定律

3.1.1 质点的角动量

设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为

L=r×mv

（3.1）

上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即

L=|rmvsinφ|

（3.2）

式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．

按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考系有关；L还含有r因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．

应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，Lz和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故Lz=L′z．

我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．

在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）． 例1 如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．

解 质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv

L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外．

设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作

L=mr2ω

（3.3）

如果写作矢量式，则有

L=mr2ω

（3.4）

式中ω是角速度矢量，其方向与质点的绕向之间遵从右手螺旋法则，即垂直于圆平面向外，与L的方向一致．

若取z轴沿着L的方向，则质点对于z轴的角动量即等于Lz=mr2ω，ω是质点绕z轴的角速度，mr2称为质点绕z轴转动时的转动惯量．可见，质点绕轴转动时，它（对于该轴线）的角动量等于质点的转动惯量与角速度的乘积． 例2 质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，如图3-3所示．求此质点相对于原点O的角动量．

解 根据角动量的定义式L=r×mv，设k为沿z轴的单位矢量，则质点的角动量为

L=r×mv=rmvsinφ（k）

即L指向z轴负方向．由图3-3可以看出，rsinφ正好等于O点与轨迹的垂直距离d，因此代入上式得

L=-mvdk

由例2可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量，质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有的动量．另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则sinφ=0，质点对该点的角动量永远等于零．因此，当谈到的动量时，必须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义．

例3 计算氢原子中电子绕原子核运动的角动量．

解 已知氢原子中电子的质量为9.11×10-31kg，它绕原子核运动的平均半径为5.29×10-11m，角速度为4.13×1016s-1，所以它对原子核中心的角动量为

L=mr2ω=(9.11×10-31)×)5.29×10-11)2×(4.13×1016)kg·m2·s-1 =1.05×10-34kg·m2·s-1．

此数值是物理学中最重要的常量之一，用h表示，微观粒子的角动

·m2·s-1．

在宏观现象中，物体的角动量可以取连续的数值．例如，对于一个绕轴转动的轮子，可以使其转速连续的增大或减小；但对于微观粒子则角动量（自旋角动量或轨道角动量）只能在一些确定的离散数列中取值，外部的作用只能使这些角动量的值从某一数值跃变为另一数值，而不能连续变化，这种现象叫做角动量的量子化．角动量的量子化现象与角动量守恒并行不悖，只是显示出微观粒子的角动量还有其特殊属性．

3.1.2 力矩