高中数学必修5 - - 第二章《数列》复习知识点总结与练习

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）

一．数列的概念与简单表示法

知识能否忆起

1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：

①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：

分类标准 项数 无穷数列 递增数列 项与项间的递减数列 大小关系 常数列

(3)数列的通项公式：

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

2．数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．

1.对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

2．数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N)．

*

*

类型 有穷数列 满足条件 项数有限 项数无限 an＋1>an 其中 an＋1

（一）由数列的前几项求数列的通项公式

[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )

A．an＝1

－1＋1

B．an＝

2D．an＝－1

2

n－1n?nπ?

C．an＝2－?sin?

2??

?

?

＋3

[自主解答] 由an＝2－?sin

nπ?

可得a1＝1，a2＝2， 2??

a3＝1，a4＝2，….

[答案] C 由题悟法

1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)或(－1)

nn＋1

来调整．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想

以题试法

写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； 1371531

(2)，，，，，…； 2481632(3)3,33,333,3 333，…； 31313

(4)－1，，－，，－，，….

23456

解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.

2－1

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2222，…，所以an＝n.

2

1,2,3,4

n99999999992

(3)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,10

3333－1,10－1,10－1，….

3

4

1n所以an＝(10－1)．

3

(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，

2＋－1

所以an＝(－1)·nnnn，也可写为

1

－，n为正奇数，??na＝?3

??n，n为正偶数.

n

（二）由an与Sn的关系求通项an

已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an. (1)Sn＝2n＋3n；(2)Sn＝3＋1.

[自主解答] (1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋3×1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋3n)－[2(n－1)＋3(n－1)]＝4n＋1. 当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4， 当n≥2时，

2

2

2

2

nan＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.

当n＝1时，2×3

1－1

＝2≠a1，

??4， n＝1，故an＝?n－1

?2×3， n≥2.?

以题试法

(2012·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝

1

，则＝( ) n＋1a5

n

D．30

解析：选D 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（三）数列的性质

n－1－＝n＋1nnn111

，则a5＝＝. n＋15×630

[例3] 已知数列{an}的通项公式为an＝n－21n＋20. (1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)n为何值时，该数列的前n项和最小？

21?21?23612

[自主解答] (1)因为an＝n－21n＋20＝?n－?－，可知对称轴方程为n＝＝.

2?42?又因n∈N，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为11－21×11＋20＝－90.

(2)设数列的前n项和最小，则有an≤0，由n－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{an}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 由题悟法

1．数列中项的最值的求法

根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．

2．前n项和最值的求法

(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；

(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法

3．(2012·江西七校联考)数列{an}的通项an＝A．310

B．19

2

*

2

2

n2

n＋90

，则数列{an}中的最大值是( )

解析：选C an＝

111*

，由基本不等式得，≤，由于n∈N，易知当n＝9或9090290n＋n＋

nn1

10时，an＝最大．

19

二．等差数列及其前n项和

知识能否忆起