高考小题分项练7 数 列
1
1．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为________．
9答案 1
13,3
解析 因为a4＝a1q3＝×q，q＝3，
915255
所以a1a2a3a4a5＝a3＝(a1q)＝(×9)＝1.
9
2．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2＝________. 答案 3
解析 a1＝a2－2，a5＝a2＋6，
∴a2＝a1a5＝(a2－2)(a2＋6)，解得a2＝3.
Snn＋1a2
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.
an2a32
答案 3
a1＋a2＋a33a23＋1
解析 当n＝3时，＝＝，
a3a32a22
∴＝. a33
4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos为________． 答案 147
解析 ∵a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2
2
2
nπ2nπ)an＋sin，则该数列的前12项和22
nπ2nπ
)an＋sin， 22
*
∴a3＝a1＋1＝2，a4＝2a2＝4，…，a2k－1＝a2k－3＋1，a2k＝2a2k－2 (k∈N，k≥2)． ∴数列{a2k－1}成等差数列，数列{a2k}成等比数列．
∴该数列的前12项和为(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋2＋…＋2)＝
6
2
＋2
＋
－
2－1
6
＝21＋2－2＝147.
7
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________. 答案 104
解析 由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8， 所以，S13＝
a1＋a13
2
＝13a7＝104.
132
6．正项等比数列{an}中的a1，a4 031是函数f(x)＝x－4x＋6x－3的极值点，则log6a2 016
3＝________. 答案 1
解析 ∵f′(x)＝x－8x＋6，∴a1·a4 031＝6， ∴a2 016＝6，∵a2 016>0， ∴a2 016＝6，log6a2 016＝1.
3*
7．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N)，则an＝________.
2答案 3
3
解析 由Sn＝(an－1)，
23
则n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，
23
则an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，
2∴an＝3an－1，∴an＝3， ∴a1＝3符合公式，∴an＝3.
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案
67
66
nnn2
2
解析 设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1＋a2＋a3＋a4＝3，
a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，①3a1＋21d＝4，②
7
②×4－①×3得：66d＝7，解得d＝，
661313767
代入①得：a1＝，则a5＝＋(5－1)×＝.
22226666
9．等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为________． 答案 210
解析 因为{an}是等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，即2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，
所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________． 答案 20
解析
S9－S6S6－S3
＝， S6－S3S3
2
(S6－S3)＝S3(S9－S6)，
S6－S3
S9－S6＝S3
S3
2
＝
＋S3
2
S3
25
＝S3＋＋10≥10＋10＝20，
当且仅当S3＝5时取“＝”，则S9－S6的最小值为20.
11．已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为______． 答案 5或6 解析 由题意得d＝
a10－a5
10－5
＝－5，因此an＝a5＋(n－5)d＝－5n＋40，a8＝0，而数列{an}的第
n项到第n＋5项的和为连续6项的和，因此|Tn|取得最小值时的n的值为第8项前3项或前
2项，即n的值为5或6.
12．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x1*
＋y)，若a1＝，an＝f(n) (n∈N)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是____________．
21
答案 [，1)
2
111
解析 ∵a1＝f(1)＝，∴an＋1＝f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝an，∴数列{an}为首项a1＝，公比
22211
[1－221
q＝的等比数列，∴Sn＝21
1－21
∵n≥1，∴≤Sn<1.
2
13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝
1＋an*
(n∈N)，则该数列的前2 018项的乘积1－ann]
1n＝1－().
2
a1·a2·a3·…·a2 018＝________.
答案 －6
1＋a11＋a211＋a311＋a4
解析 由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，∴
1－a11－a221－a331－a4数列{an}是以4为周期的数列，而2 018＝4×504＋2，∴前2 018项乘积为a1a2＝－6. 14．设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足4Sn＝(an＋1)(n＝1,2,3，…)，则Sn＝________. 答案 n
2
2
an12
解析 由题意知：Sn＝(＋)，
22
当n＝1时，易得a1＝1.
an1an－11
an＝Sn－Sn－1＝(＋)2－(＋)2
2
2
2
2
＝(＋＋1)·(－) 2222＝(2a2n－an－1
anan－1anan－1
4
)＋(－)，
222
＝
4
?an－an－1＝2，
2
anan－1
整理得：
2
an＋an－1a2n－an－1
所以an＝2n－1，所以Sn＝n.
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