三 立体几何()
.(·天水二模)如图,在多面体中,四边形为矩形,△,△均为等边三角形∥.
()过作截面与线段交于点,使得∥平面,试确定点的位置,并予以证明; ()在()的条件下,求直线与平面所成角的正弦值.
.(·宜昌质检)在如图所示的六面体中,平面是边长为的正方形,平面是直角梯形,∠°∥.
()求证∥平面;
()若二面角为°,求直线和平面所成角的正弦值.
.(·黄石模拟)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,∠°为的中点⊥平面为的中点.
()证明∥平面;
()设直线与平面所成的角为α,二面角
的大小为β,求 α· β的值.
.(·达州模拟)在如图所示的几何体中,平面⊥平面,四边形是菱形,四边形是矩形,∠是的中点.
()求证⊥平面.
()在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
.解:()当为线段的中点时∥平面, 证明如下:
连接,设∩,连接, 因为四边形为矩形, 所以为的中点, 又因为为的中点, 所以为△的中位线, 所以∥,
因为?平面?平面, 所以∥平面,
故为的中点时∥平面. ()过点作∥分别与交于点, 因为为的中点, 所以分别为的中点,
因为△与△均为等边三角形,且, 所以△≌△, 连接,则得.
因为∥??,
所以∥,
所以四边形为等腰梯形. 取的中点,连接,则⊥, 又因为⊥⊥∩, 所以⊥平面. 过点作⊥于点, 则∥, 所以⊥⊥.
分别以
,
,
的方向为轴轴轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设,则由条件可得()()()(,)(, )(,,)()(,),
(,),
设()是平面的法向量,
则则所以可取(
),
可得<>,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.()证明:连接,相交于点,取的中点,连接. 因为四边形是正方形,
所以是的中点,
所以∥.
因为∥.
所以∥,且.
所以四边形是平行四边形. 所以∥.
又?平面?平面,
所以∥平面.
()解:因为四边形是正方形,四边形是直角梯形,∠°, 所以⊥⊥, 因为∩, 所以⊥平面. 同理可得⊥平面. 又?平面,
所以平面⊥平面, 又二面角为°, 所以∠∠°. 因为, 所以,
所以△为等边三角形. 在△中,由余弦定理得所以, 所以⊥.
,
又⊥平面, 所以⊥. 又∩,
所以⊥平面.
以为坐标原点分别为轴轴轴建立空间直角坐标系. 则()()(所以(,
())(,), (
), ),
设平面的法向量为(),
则即令
,则
所以(,).
设直线和平面所成角为θ,
则 θ<>.
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