2017年浙江省杭州市中考数学试卷(含答案)

解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．

23．（12分）（2017?杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

ɑ β γ 30° 120° 150° 40° 130° 140° 50° 140° 130° 60° 150° 120° 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：

（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

【分析】（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；

（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以

，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB

的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r； 【解答】解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180° 连接OB，

∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA， ∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB=α， ∴∠BOA=180°﹣2α，

∴2β=360°﹣（180°﹣2α）， ∴β=α+90°，

∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴OE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90° ∵∠BCA=∠EDC+∠CED， ∴β=90°+∠CED， ∴∠CED=α， ∴∠CED=∠OBA=α， ∴O、A、E、B四点共圆， ∴∠EBO+∠EAG=180°， ∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°， ∴γ+α=180°；

（2）当γ=135°时，此时图形如图所示， ∴α=45°，β=135°，

∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，

由（1）可知：O、A、E、B四点共圆， ∴∠BEC=90°，

∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍， ∴∴

， ，

设CE=3x，AC=x，

由（1）可知：BC=2CD=6， ∵∠BCE=45°， ∴CE=BE=3x，

∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62， x=

，

，AC=

，

∴BE=CE=3，

∴AE=AC+CE=4

在Rt△ABE中，

由勾股定理可知：AB2=（3∴AB=5

，

）2+（4

）2，

∵∠BAO=45°， ∴∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，设半径为r， 由勾股定理可知：AB2=2r2， ∴r=5，

∴⊙O半径的长为5．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．