初三数学课外辅导系列讲座（之一） 姓名 00

初三数学课外辅导系列讲座（之一） 姓名 。00/09/20 课题：讨论一元二次方程的整数根问题。 一、 直接求解法：

例1：设y?ax2?bx?c，已知x?1时，y?0；x??1时，y为偶数， 求证：方程x2??a?b?c?x?ba?bc?0的两个根是整数根。

例2：m 是什么整数时，方程m2?1x2?6?3m?1?x?72?0有两个不相等的正整数根？

二、 利用判别式法：

例3：设m为整数，4?m?40，又方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0 有两个整数根，求m的值及方程根。

例4：求满足方程y?2x?1?4xy的所有整数解。

三、 利用韦达定理法：

例5：若k为正整数，且一元二次方程?k?1?x?px?k?0的两个根都是正

2442??整数，则k

pk?pp?kk??p?k?? 。

? 例6：求所有实数k，使方程kx??k?1?x?k?1?0的根都是整数。

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四、 反客为主法：

例7：试求出所有这样的正整数a，使得二次方程ax2?2?2a?1?x?4?a?3??0 至少有一个整数根。

例8：求使方程ax?ax?1?7a?0的两个根都是整数的所有的正数a的和。

5、利用整数的性质

例9：如果方程x?2kx?2t?1?0 （k与t都是整数）有整数根?，则它的另一根?必是下列判断的 （ ）

（A） 不是整数 （B） 是整数，但不能判断奇数或偶数 （C） 是奇数 （D） 是偶数

例10：方程x?px?1997?0恰有两个正整数根x1,x2 。则 是 （ ）

（A） 1 （B） ?1 （C） ?

例11：设a和b为任意给定的整数。试证明方程 x?10ax?5b?3?0 和x?10ax?5b?3?0都没有整数根。

练习： （1）方程x?ax?1?b的根是自然数。证明：a?b是合数。

（2）要使方程1?mx?2m?1?n?x?m?n?0有整数根，求整数m、n应满足的条件，并求出这

22222222222222p的值

?x1?1??x2?1?11 （D）

22??两个整数根。

（3） 求使x的方程(a?1)x2?(a2?1)x?2a3?6?0有整数根的所有整数a 。

（4） 已知方程x2?(a?6)x?a?0 (a?0)的两个根都是整数，试求整数a的值。

（5）试求所有这样的整数a，使得二次方程ax?2ax?a?9?0至少有一个整数根。

2初三数学课外辅导讲座之二 姓名

（运筹问题）

1、 桌上放着1999根火柴，甲、乙两个孩子轮流每次可取1，2或3根，规定谁能最后取完火柴，谁就获

胜，现甲先取，问谁有必胜的策略？他应该怎样去玩这场游戏？

2．现有一堆石子m粒，甲、乙两个人轮流在其中取一粒或两粒石子，规定能取 到最后一粒石子者取胜，问是先取的甲还是后取的乙有必胜的策略？怎样取？

3．有两堆石子，石子数分别为m粒、n粒，甲，乙两人轮流在其中一堆中取任 意多粒，谁取得最后一粒谁就获胜，问是先取的甲还是后取的乙有必胜的策 略？应该怎样取？

4．现把m粒石子排成一排，甲、乙两人轮流在其中取一粒或两粒石子，但要保 证取两粒时，这两粒石子必须是原来相邻的，问先取的甲还是后取的乙有必 胜的策略？怎样取？

5．若把第4题中的条件变成：“把石子排成一个圆圈”。结果怎样呢？

6．甲、乙两人在长20cm，宽10cm的长方形纸片上画圆，要求画出的圆满足以 下两人条件：（1）半径不小于1cm。（2）后画的圆与先画的圆只能外切或外离， 谁能画到最后一个圆谁就获胜，问是先画的甲还是后画的乙有必胜的策略？怎 样画？

7．甲、乙两人轮流在2，3，4，5，6，7，?? ，n中划去一个数，取后一个剩两个数，如果这两个数互质，判甲胜，否则判乙胜。问是先划的甲还是后的乙有必胜的策略？怎样划？

初三数学课外辅导系列讲座之三 姓名 容斥原理及其应用

一、 容斥原理：设集合A、B、C，用A表示集合A中的元素的个数。属于A的元素或者属于B的元素的

集合称为集合A与集合B的并集，记着A?B；

既属于集合A又属于集合B的元素的集合称为集合A与集合B的交集，记着A?B。则： （1）A?B?A?B?A?B （或A?B?A?B?A?B） （2）A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C

二、 应用举例：

例1：在1000∽2000之间（包括1000和2000），能被4或6整除的数有多少个？

例2：某班统计了一次体育活动情况，其中打球的38人，练习跑步的37人，既打球又跑步的25人，求这个班参加活动的人数。