例3 ：某研究所共有研究人员91人，英，日，德三种外语中，每人至少懂得一种，其中懂英语的47人，懂日语的50人，懂德语的50人，懂得英、日两种外语的有22人，懂得英、德外语的21人，懂得日、德两种外语的有23人，问三种外语都懂的有几人？
例4：求出1∽10000之间既不是完全平方数又不是完全立方数的那些整数的个数。
例5：求1∽200的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和。
例6：求前100个自然数中，所有非2、非3、非5、非7的倍数之个数。
例7：某中学共有学生220名，在一次期中考试中，数学、外语成绩优良的分别有175名，140名，两门成绩都优良的有115名，问两门都没有达到优良的有多少名？
例8：某中学共有教师120名，其中教数学、外语、语文的分别有50、45、40名，其中有15名能教数学、外语，有10名能教数学、语文，有8名能教外语、语文，还有4名教师数、语、外都能教，问该校这三门课程都不能教的有多少名？ 容斥原理应用第二讲 姓名
例1：50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，4， ┄┄ 依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6 的倍数的同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？
例2： n名学生面向老师站成一行，老师让大家从左到右按1，2，3，┄┄ 依 次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的 同学向后转，问（1）面向老师的同学还有多少？（2）其中面向老师的第 1997个（自左至右数）学生报数是几？
例3：240名学生面向老师站成一行，老师让大家从左自右按1，2，3，┄┄ 依
次报数，再让报数是3的倍数的同学向后转，接着又让报数是5的倍数的 同学向后转，接着又让报数是7的倍数的同学向后转，问（1）最后面向 老师的同学还有多少人？（2）其中面向老师的第66个（自左至右数） 同学报数是几？
例4：在1到40这四十个自然数中，选一些数组成数集，使其中任何一个数 不是另一个数的2倍，那么这个数集中最多有几个数？
例5：某人同时写了四封信及其对应的信封，问所有的信都装错了信封的情形有 多少种？
初三数学课外辅导系列讲座之四 姓名
函数的最值问题 一、 简单分式函数的最值：]
3x2?6x?51． 当x变化时，y?的最小值是多少？
12x?x?12
2． 设x是正实数，则函数y?x?x?
3． 已知函数y?
4． 求f(x)?21的最小值是多少？ xax?b的最大值为4，最小值为?1，求a,b的值。 2x?11?11?????的最大值，并指出此时x的值。 x?x2?
二、 简单的绝对值函数的最值：
5． 设x是实数，y?x?1?x?1，下列四个结论：① y没有最大值；②只有一个x使y取得最小值；
③ 有有限个x使y取得最小值；④有无穷多个x使y取得最小值，其中正确的结论是： A ① B ①② C ①③ D ①④ 6、设a?b?c，求f(x)?x?a?x?b?x?c的最小值。
三、 一次函数的最值、二次函数的最值： 7．（江苏省无锡市）某童装厂现在有甲种布料38米，乙种布料26米，现在计划 用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套。已知做一套L型号的童装 需用甲种布料0。5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装 需用甲种布料0。9米，乙种布料0。2米，可获利用元。设生产L型号的童 装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获的利润为y元。
（1） 写出y（元）与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2） 该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获 的利润最大？最大利润是多少？
8．某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利 润，商店决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每 月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数 y（件）是价格x（元/件）的一次函数。
（1） 试求y与x之间的关系式；
（2） 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时， 才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少（总利润=总收入- 总成本）？
9．某商店如果把进价为8元的商品按每件10元出售，每天销售200件。现在采用提高售价，减少进货量
的方法增加利润，已知这种商品每涨价0。5元，其销量减少10件，问应将销售价定为多少时，可能使所赚利润最大。并求出最大利润。
10．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满。旅社装修后要提高租金。经市场调查，如果一间客房日租增加5元，则客房每天出租数会减少6间。不考虑其它因素，旅社将每间客房日租金提高多少时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
11．如图：由沿河的城市A运货物到离河岸30公里的地点B。按沿河的距离计 算，A离C的距离是40公里，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样从B 点筑一条公路到河岸，才能使由A到B的运费为最少？
12．已知杠杆的支点O在它的一端，在距支点一米的P点处挂一重为490千克的物体，同时加力F于杠杆的另一端A，使杠杆保持平衡。若杠杆本身每米重为5千克，求杠杆为多长时所需的力F最小。
13．A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台。已知从A市调运一台机器到C市、D市的费用分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为300元和500元。
（1） 设B市运到C市机器x台。求总运费W关于x之间的函数关系式。 （2） 若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？ （3） 求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 14． 汽车类型 每辆汽车能满装的吨数 每吨蔬菜可获得利润（百元） 甲 2 5 乙 1 7 丙 1．5 4
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