人教A版高中数学选修1-2同步检测
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
A级 基础巩固
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．
A．①② B．①②④ C．①②③
D．②③
解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．
答案：C
2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”
1
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答案：A
3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．
则正确的序号顺序为( ) A．①②③ C．①③②
B．③①② D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 答案：B
4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.
答案：D
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( )
A．0
1B. 3
2
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1C. 2
D．1
1
解析：假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛
3盾，选项B正确．
答案：B 二、填空题
6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b与c平行或相交． 答案：b与c平行或相交
7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数． 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
3
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解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0 三、解答题
1＋x1＋y
9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：<2和
yx<2中至少有一个成立．
1＋x1＋y1＋x1＋y
证明：假设<2和<2都不成立，即≥2，≥2.
yxyx又因为x，y都是正数， 所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2， 这与题设x＋y>2矛盾， 所以假设不成立．
1＋x1＋y
故<2和<2中至少有一个成立．
yx
10．已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列．
证明：假设a，b，c成等差数列， 则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，
又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数， 所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，
因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b， 这与a，b，c互不相等矛盾． 故a，b，c不成等差数列．
B级 能力提升
4
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