三角函数与解三角形B-高考文科数学解答题大题专题强化训练

一 三角函数与解三角形(B)

1.(2018·铁东区校级二模)已知函数f(x)=sin(2x-)-2sin(x-)sin(x+).

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最值.

2.(2018·金华模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin

2B,B≠.

(1)求证:c=2b;

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(2)若△ABC的面积S=5b-a,求tan A的值.

3.(2018·资阳模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B). (1)求A;

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(2)若a=4,求b+c的取值范围.

4.(2018·朝阳区二模)已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)-a的图象经过点(,1),a∈R. (1)求a的值,并求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若当x∈[0,]时,不等式f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围.

1.解:(1)因为f(x)=sin(2x-)-2sin(x-)·sin(x+)

=sin(2x-)-2sin(x-)cos(x-)

=sin(2x-)-sin(2x-)=sin(2x-)+cos 2x

=sin 2x-cos 2x+cos 2x=sin 2x-cos 2x

=sin(2x-),

所以T==π,

令2x-=kπ+(k∈Z),

解得x=+(k∈Z).

所以函数f(x)的最小正周期为π,

图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).

(2)因为x∈[-,],

所以2x-∈[-,].

因为f(x)=sin(2x-)在区间[-,]上单调递增,在区间[,]上单调 递减,

所以当x=时,f(x)取最大值1.

又因为f(-)=-

所以当x=-时,f(x)取最小值-.

2.(1)证明:△ABC中,由sin A=sin(B-C)+2sin 2B, 得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B, 展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,

又因为B≠,所以cos B≠0, 所以sin C=2sin B, 由正弦定理得,c=2b.

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(2)解:因为△ABC的面积为S=5b-a,

所以有bcsin A=5b-a,

由(1)知c=2b,

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代入上式得bsin A=5b-a,①

22222

又由余弦定理有a=b+c-2bccos A=5b-4bcos A,

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代入①得bsin A=4bcos A, 所以tan A=4.

3.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),

222

即a-b=c-bc,

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则=,

即cos A=, 由于0

所以A=.

(2)根据余弦定理,a=b+c-2bccos =b+c-bc,

22222

所以b+c=16+bc≤16+

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,

当且仅当b=c时取等号,则有b+c≤32,

22

又b+c=16+bc>16,

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所以b+c的取值范围是(16,32].

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4.解:(1)函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)-a的图象经过点(,1),

所以2sin (sin +cos )-a=1, 即2-a=1,解得a=1,

所以函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)-1

2

=2sinx+2sin xcos x-1

=2×+sin 2x-1

=sin 2x-cos 2x

=sin(2x-),

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.

(2)当x∈[0,]时,2x-∈[-,],

令g(t)=sin t在[-,]上单调递增,在[,π]上单调递减,且g(-)=-

所以sin(2x-)≥×(-)=-1,

又不等式f(x)≥m恒成立,

所以实数m的取值范围是(-∞,-1].