高中数学必修4第二章 平面向量单元检测

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????1（2）(ka?b)//(a?3b)，得?4(k?3)?10(2k?2),k??，

3??1041此时ka?b?(?,)??(10,?4)，所以方向相反。

333???????22?2?22

19．解： （1）解：设a与b的夹角为θ，则|a+tb|=（a+tb）=|a|+t|b|+2a·（tb）

=|a?2+t2|?b2+2t|a?|??b|cosθ=|b|2（t+|a??|cosθ）2+|a?|2|b|sin2θ，

?所以当t=－|a?|cosθ=－|a?||b??|cos???=－a??b??|b||b|2|b|2时，|a+tb|有最小值 （2）证明：因为?b·（a?+t??b）=b·（a???－a?????b??2·b）=a·b－a·|b|b=0，

???所以b⊥（a⊥tb） 20．解： （1）设M(x,y)，则OM?(x,y)，由题意可知OM//OP 又OP?(2,1)。

所以????????x?2y?0即x?2y，所以M(2y,y)，则MA?MB?(1?2y,7?y)?(5?2y,1?y)

=5y2?20y?12?5(y?2)2?2，当y?2时，MA?MB取得最小值，此时M(4,2)，OM?(4,2)。

（2）因为cos?AMB?MA?MB?(?3,5)?(1,?1)??417。

|MA||MB|34?21721．解：（1）设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2),则ma+nb=(mx1?nx2,my1?ny2)， 由v?f(u)，得f(ma?nb)?(my1?ny2,2my1?2ny2?mx1?nx2)， 而

mf(a)?nf(b)?m(y1,2y1?x1)?n(y2,2y2?x2)?(my1?ny2,2my1?2ny2?mx1?nx2)，∴对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)成立。 （2）∵ a=(1,1),b=(1,0)，v?f(u) ∴ f(a)?(1,1),f(b)?(0,?1)，

（3）设c=(x,y)，由f(c)?(p,q)得?y?p???x?2p?q?，∴ c=(2p?q,p)。?2y?x?q?y?p

22．解：⑴由题设得22????|a|?|b|?1，对|ka?b|?3|a?kb|两边平方得

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即

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??k2?1?2???2?2???22(k?0) 。 ka?2ka?b?b?3(a?2ka?b?kb)，展 开 整 理 易 得f(k)?a?b?4k2 ⑵由函数的单调性知函数f?k?的最小值为欲使f(k)?x2?2tx?1212。

12?x?2tx?2对任意的t?[?1,1]恒成立，等价于

12，

即g(t)?2xt?x2?1?0在[?1,1]上恒成立，而g(t)在[?1,1]上为单调函数或常函数，

2??g(1)?2x?x?1?0所以? 解得1?2??g(?1)??2x?x?1?02?x?2?1。

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