看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角?、仰角?的满意度函数[1]如下：
S?k?tan?k?tan?mintan?max?tan?min (2.3)
S?k?1?tan?k?tan?mintan?max?tan?min (2.4)
式中?k,?k为第k排座位上观众视角和仰角，?max,?max表示在?给定的情况下最优满意度，?min,?min表示在?给定的情况下最差满意度。
视角?、仰角?在综合满意度Sk中的权重分别为c?,c?，建立第k排座位综合满意度函数如下：
Sk?c?S?k?c?S?kc??c? (2.5)
根据地板线倾角??10?，通过计算可以得出5.4210????15.8975?， ?? 4.0451???40.9149，主观给定权重C??0.6,C??0.4，根据模型的建立，可以得出：
Sk?c?S?k?c?S?kc??c??0.6S?k?0.4S?k0.6?0.4?3.1596tan?k?0.5025tan?k?0.1357 (2.6)
将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为：
maxSk??0.50253.1596*h((k?1)lcos??d)((k?1)lcos??d)?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)(k?1)lcos?tan??H?c(k?1)lcos??(?d)?0.13572?0?x?D?d?H?c?H?c?33d s.t.??x?,k?1,2,3,?,19tan?33?tan???x?(k?1)lcos??
5.1.4 模型Ⅱ的求解
用Matlab软件运算求解（程序见附录2）可得：x?2.3635米，k?4排，最大满意度为S4?0.6176,最大视角为??13.1282?，仰角为??26.9084?,最佳位置离屏幕的水平距离为4.5?2.3635?6.8635米。 5.2 问题二
5.2.1 模型Ⅲ的建立
k要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S的最大值。由模型Ⅱ可知，第n排观众的满意度为S,则观众平均满意程度函数为：S??Skn，平均满意度S的大
k?1小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角?和视角?所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。
由式(1.1)可知，地板线倾角?的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生
4
改变，且在某一座位(即x取某一定值)，在?逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角?越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。
7.15α随θ的变化曲线16β随θ的变化曲线7.114127.05α角变化β角变化0246810121416182010786.9566.946.8526.8002468101214161820θ角变化θ角变化
图2 视角?和仰角?随?变化的变化曲线
第一排观众的仰角为??40.9149?，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k排座位所对应的仰角的正切值：
tan?k??(k?1)lcos?tan??H?c(k?1)lcos??(?d),k?1,2,3,?,n
14.5lcos?其中n为地板线上的座位的总排数：n?[]?1，随着地板线倾角?的变化，相
邻两排座位间的间距l不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角?不超过20?，所以19?n?20，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即??15.0543?。
由模型Ⅰ可求出第k排座位所对应的水平视角的正切值为：
tan??h((k?1)lcos??d)((k?1)lcos??d)?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)2
5.2.2 模型Ⅲ的求解
让地板线倾角?在[0?,20?]内逐一取值,步长为0.01?；让x在[0,14.5]内逐一取值,步长为0.01。
对一个取定的?，判断x所在的位置仰角是否超过30?，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角?和视角?的取值；否则，只需要考虑视角?的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时?的取值。
?当取地板线倾角为?变化时，通过计算可以得出5.1143????15.8975，
0???40.9149??。
5
由模型Ⅱ的(2.5)式得：Sk?c?S?k?c?S?kc??c??0.6S?k?0.4S?k0.6?0.4（3.1） ?
所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为：
n?SmaxS?k?1kn
?19?n?20????0???15.0543s.t?,k?1,2,?,n其中n取整数 ?0?x?D?d?x?(k?1)lcos??用Matlab软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为S?0.6572，对应地板线的倾角为??15.0543?。 5.3 问题三
5.3.1 模型的建立与求解
由上两问可知,观众的满意程度与仰角,视角和地板线倾角?都有关,而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着?的变化情况。
引理 地板线不管设计成什么形状,各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。
要使每一个座位所对应的视角取最大值,对应的y值应在直线上.设计地板线应考虑以下几个方面：(1)第k排座位所在的位置应高于第k?1排座位所在的高度；(2)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；(3)视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近；(4)仰角的座位所占的比例尽可能大。
假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为l，第k排座位地板线倾角为?k，第k排座位与第k?1排座位地板线倾角变化为??。从而可得：?k?0?(k?1)??，故：
nnk?(k?1)ltan?tan?k??k?1?H?c??ltan[(k?1k?1)??]?H?c(k?1)l?(?d)(k?1)l?(?d)
同理可得：
tan???2h((k?1)lcos??d)((k?1)lcos??d)?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)h((k?1)lcos??d)nn2((k?1)lcos??d)?(lcos??ltan[(k?1)??]?H?c)(lcos??ltan[(k?1)??]?H?h?c)k?1k?1 6
n 观众平均满意程度函数为：S??Skn
k?1可算出地板线上的座位的总排数为：nSmax?0.6692?[14.5lcos?]?1，则可计算得当???2.5?时，
。
但此时??(19?1)?2.5??45?，根据一般习惯，要求地板线倾角??20?，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为??45?，这大大超过观众的心理范围，因此文中将对此进一步的修改。当(i?1)???20?时，令(i?1)???20?。当??20?时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。由于???2.5?，则地板线倾角增加到第8排到达20?，然后保持不变。
对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用matlab数学软件求得：满意度函数的最大值Smax?0.6643?0.6572。
可以通过利用Matlab软件来描点，如图3所示：
2.521.510.50024681012141618
图3
从上图可以看出，报告厅座位的前8排呈折线状，以???2.5?递增,当倾角增加到???20时保持不变，且第一排应抬高1.2米。
六、模型的评价与推广
6.1 模型的评价 6.1.1 模型的优点:
模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理。
模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。 6.1.2 模型的不足以及需要改进的地方:
模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。
模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。 6.2 模型的推广
本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用,所建立的模型可用于大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。同时对于已知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:运用该模型去解决会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和推广性。
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