河南省专升本高等数学真题(带答案详解)

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2xcos2x?exyxy?ydy所以 ?y??.

x2exy?xlnxdx 48.已知?xf(x)dx?e?2x?C，求?1dx. f(x) 解：方程?xf(x)dx?e?2x?C两边对x求导得 xf(x)??2e?2x?2e?2x，即f(x)?，

x所以

11??xe2x. f(x)2 故?111dx???xe2xdx???xde2x f(x)241111 ??xe2x??e2xdx??xe2x?e2x?C.

444849.求定积分?|x(x?1)|dx.

?44 解：?|x(x?1)|dx??|x(x?1)|dx??|x(x?1)|dx??|x(x?1)|dx

?4?40014014 ??x(x?1)dx??x(1?x)dx??x(x?1)dx

?40114?x?xx?x??xx? ????????????

?32??4?23?0?32?1320231324?64116411?8????8???43. 323332 50.已知z?e解：因

x2?xy?y2 求全微分dz.

2222?z?ex?xy?y(x2?xy?y2)?x?ex?xy?y(2x?y), ?x2222?z?ex?xy?y(x2?xy?y2)?y?ex?xy?y(x?2y), ?y且它们在定义域都连续，从而函数z?exdz?2?xy?y2可微，并有

22?z?zdx?dy?ex?xy?y[(2x?y)dx?(x?2y)dy]. ?x?y51.求??(2x?y)d?，其中区域D由直线y?x,y?2x,y?2围成.

Dy .

y?2x?x?y 22

y?x?x?y

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解：积分区域D如图所示： 把D看作Y型区域，且有

y??D??(x,y)|0?y?2,?x?y?

2??故有??(2x?y)d???dy?y(2x?y)dx

D022y22y??(x?xy)ydy??022052510ydy?y3?. 412032252.求微分方程y??2xy?xe?x的通解. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，

它对应的齐次微分方程y??2xy?0的通解为y?Cex， 设原方程的解为y?C(x)ex代入方程得C?(x)ex?xe?x, 即有 C?(x)?xe?2x， 所以 C(x)??xe?2xdx??2222221?2x21?2x22ed(?2x)??e?C, ?44212 故原方程的通解为y??e?x?Cex.

453.求幂级数?n2nx的收敛区间（考虑区间端点）. nn?12??解：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数?n?1n2nx， 2nun?1n?12nx22 因l?lim?xlimn?1??,

n??un??2n2n?x2n?1，即|x|?2时，级数?nx2n是绝对收敛的； 当l?2n?12?x2n?1，即|x|?2时，级数?nx2n是发散的； 当l?2n?12??x2n2n?1，即x??2时，级数?nx化为?n，显然是发散的。 当l?2n?12n?1.

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故原级数的收敛区间为?2,?2.

?四、应用题（每小题7分，共14分）

54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为64m2的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小. 解：场地如图所示：

x x 设增加的三面墙的长度分别为x,y,x； y

总长为z，则有z?2x?y，xy?64， 从而z?2x?令z??2?6464，问题就转化为求函数z?2x?最小值问题. xx64?264??z(42)?x?42得唯一驻点，且有?0x3x?4x2?0，

2所以x?42是极小值点，即为最小值点,此时y?82. 故，另增的三面墙的长度分别为42m，82m，42m时，增加三面围墙的总长最小. 55.设D由曲线y?f(x)与直线y?0,y?3围成的，其中

?x2,0?x?2， y??y?6?x,x?2求D绕y轴旋转形成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图所示: 把D看作Y区域，且y?[0,3],

o3 y?x2?x?y代入Y型区域绕y所成旋转一 周所得体积公式有

222??Vy????f(y)?g(y)dy??(6?y)?y??0???dy 0?33xy?6?x?x?6?y?yy? ?π?(36?13y?y2)dy?π?36y?13??

023?0?3233 ?117?. 2五、证明题（6分）

.

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56.设F(x)??f(t)dt??axxb1dt，其中函数f(x)在闭区间?a,b?上连续且f(x)?0，f(t)证明在开区间(a,b)内,方程F(x)?0有唯一实根. 证明：因为F?(x)?f(x)?aa1在?a,b?上有意义，所以F(x)在?a,b?上连续，且有f(x)F(a)??f(t)dt??abba1b11dt??dt???dt?0,

bf(t)af(t)f(t)b1dt??f(t)dt?0，

af(t)F(b)??f(t)dt??abb由连续函数在闭区间上的零点定理知，F(x)?0在(a,b)内至少有一个实根； 又因为F?(x)?f(x)?内至多有一个实根；

故F(x)?0在(a,b)内有唯一实根.

1?0，知F(x)在(a,b)内是增函数.从而知F(x)?0在(a,b)f(x).