所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
∴＝，则PE＝PA·PD， 又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3. ∴PE＝PA·PD＝6.
(2)如图，过点E作EN⊥DB交DB的延长线于点N，在Rt△DFB中，DF＝3，FB＝1，则BD＝10，
PEPDPAPE2
由Rt△DFB∽Rt△ENB， 知＝，
3101
所以EN＝，又BD∥EC，所以EN为△BCD底边BD上的高，故S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝
102
ENBEDFBDAB·DF＋BD·EN＝×3×3＋×10×
题型三 射影定理的应用
121212310
＝6. 10
例3 (2016·苏州调研)如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，
BD＝DC＝FC＝1，求AC的长．
解 在△ABC中，设AC为x，
∵AB⊥AC，AF⊥BC. 又FC＝1，根据射影定理， 得AC＝FC·BC， 即BC＝x.
再由射影定理，得AF＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即AF＝x－1，∴AF＝x－1. 在△BDC中，过D作DE⊥BC于E. 12
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝x.
2
2
2
2
2
22
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴
DEDC＝， AFACDC·AFx2－1∴DE＝＝.
ACx在Rt△DEC中，∵DE＋EC＝DC，
2
2
2
x2－121222x2－1x4
即()＋(x)＝1，∴2＋＝1.
x2x4
336
整理得x＝4，∴x＝2，即AC＝2.
思维升华 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．
(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．
(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求
AC∶BC.
(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的长．
解 (1)∵AC＝AD·AB，BC＝BD·AB， ∴AC∶BC＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.
(2)如图，连结AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
2
2
2
2
设AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD＝AD·DB， 即6＝x(13－x)，
∴x－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9. ∵AD>BD，∴AD＝9.
22
2
1．(2016·苏州一模)如图，△OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO＝3，
PA·PB＝4，求腰长OA的长度．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
6
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
解 如图，作OD⊥AP，垂足为D，
则PO－PD＝OB－BD， 所以PO－OB＝PD－BD，
因为AD＝BD，所以PD－BD＝PD－AD＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4， 所以PO－OB＝4，所以OB＝9－4＝5， 所以OB＝5，所以OA＝5.
2．(2016·徐州模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的长．
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2
2
解 由于∠ACD＝∠AEB＝90°， ∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， ∴＝.又AC＝4，AD＝12，AB＝6， ∴AE＝
ABAEADACAB·AC6×4
＝＝2. AD12
3.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.
解 设AC＝k，则AB＝2k，BC＝5k， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC＝CD·BC， ∴k＝CD·5k，∴CD＝
2
2
5
k， 5
45
又BD＝BC－CD＝k，
5∴AD＝CD·BD＝
2
54542k·k＝k， 555
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同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
25∴AD＝k，∴AD∶BC＝2∶5.
5
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，求△ACD与△CBD的相似比． 解 如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：
CD2＝AD·BD，
又∵AD∶BD＝2∶3， 令AD＝2x.则BD＝3x(x>0)， ∴CD＝6x，∴CD＝6x.
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD. 易知△ACD与△CBD的相似比为＝即相似比为6∶3.
5．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证：＝.
2
2
ADCD2x6x＝
6. 3
DFAEAFEC
证明 ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴＝，
DFBDAFAB
① ②
AEAB＝. ECBC
在Rt△ABC中，由射影定理知，
BDABAB2＝BD·BC，即＝.
ABBC由①③得＝， 由②④得＝.
③ ④
DFABAFBCDFAEAFEC
6.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 8
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