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等差数列前n和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
n(n1?1)?1n?n1?1； ②n(n1?k)?1k(1n?n1?k)； ③111k2?k2?1?2(1k?1?1k?1)，1111111k?k?1?(k?1)k?k2?(k?1)k?k?1?k； ④1n(n?1)(n?2)?12[1n(n?1)?1(n?1)(n?2)] ；⑤n(n?1)!?1n!?1(n?1)!；⑥2(n?1?n)?2n?n?1?1n?2n?n?1?2(n?n?1) 二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法 2、由Sn求an
（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 3、求差（商）法
如：?a1n?满足2a111?22a2?……?2nan?2n?5?1?
解：n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14
n?2时，12a12a11?22?……?2n?1an?1?2n?1?5?2?
?1???2?得：12nan?2
∴an?1n?2
∴a?14(n?1)n???2n?1(n?2)
［练习］
数列?a5n?满足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an （注意到aSSn?1n?1?n?1?Sn代入得：S?4 n 又SSn1?4，∴?n?是等比数列，Sn?4
n?2时，an?Sn?1n?Sn?1?……?3·4
4、叠乘法
例如：数列?a?1n?中，a1?3，ana?n，求an nn?1 解：
a2·a3……an?1·2……n?1，∴an1a? 1a2an?123na1n 又a1?3，∴an?3n 5、等差型递推公式
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由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)? a?a?32?f(3)?…………?两边相加，得：
?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］
数列?a?，a?3n?1n1?1，an?an?1?n?2?，求an
（a1n?2?3n?1?） 6、等比型递推公式
an?can?1?d?c、d为常数，c?0，c?1，d?0? 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x
令(c?1)x?d，∴x?dc?1
∴??ad??n?c?1??是首项为a?d1c?1，c为公比的等比数列
∴ad?d?n?1n?c?1???a1?c?1??·c ∴a??ad?n??1?c?1?n?1d?c?c?1 ［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求ann?1 （a?4?n?8???3???1）
7、倒数法
例如：a2an1?1，an?1?a，求an
n?2 由已知得：1n?2a?a2a?1?1 n?1n2an ∴1a?11n?1a? n2 ???1?为等差数列，1?a?n?a?1，公差为1 12 ?1a?1??n?1?·1?1?n?1? n226
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∴a2n?n?1
2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。
1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2
【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。
解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=12n(n?1)个奇数，
∴最后一个奇数为：1+[
12n(n+1)-1]×2=n2
+n-1 因此所求数列的前n项的和为
（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2
）
解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3
）
（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。
例10、求和：S12L?3nCnn?3Cn?6Cn?n
例10、解 S012nn?0?Cn?3Cn?6Cn?L?3nCn
∴ Sn-1
n=3n·2
（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．
例11、 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．
解 设S2
n=1+3+5x+…+(2n-1)xn-1
． ①
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(2)x=0时，Sn=1．
23n
(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x+5x+…+(2n-1)x，②
①-②，得 (1-x)S23n-1-(2n-1)xn
n=1+2x+2x+2x+…+2x．
(5)裂项法：
把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：
例12、求和
11?5?1113?7?5?9?L(2n?1)(2n?3)
注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
二、常用数学思想方法 1．函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【例13】 等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？
此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下 ∵ f（l）=f（k）
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