高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列[讲义]

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求证：存在常数c，

2n2使得an?1?pan?1·an+qan?cq?0.

【证明】

2222an?1?pan?1·an+1+qan?1?an?2(pan+1+an+2)+qan?1=an+2·(-qan)+qan?1=

2222q(an?1?anan?2)?q[an?1+an(pqn+1+qan)]=q(an?1?pan?1an?qan).

222若a2?pa2a1?qa12=0，则对任意n, an?1?pan?1an+qan=0，取c=0即可.

22222若a2?pa2a1?qa12?0，则{an?1?pan?1an+qan}是首项为a2?pa2a1?qa1，

公式为q的等比数列。

n2222所以an+=·q. (a?paa?qa)?paaqa2211?1n?1nn2取c??(a2?pa1a2?qa12)·即可.

1q综上，结论成立。

例5 已知a1=0, an+1=5an+24an2?1，求证：an都是整数，n∈N+. 【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+24an2?1移项、平方得

22an?1?10anan?1?an?1?0. ①

22当n≥2时，把①式中的n换成n-1得an?10anan?1?an?1?1?0，即

22an?1?10anan?1?an?1?0. ②

2因为an-1

的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n≥2). 再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。 3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例6 已知an=【解】 因为

112?2100?4n?4100?n1an+a100-n=n100+100?n100=100， ?100n100?n1004?24?24?2?2(4?4)21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99. n1004?219919999所以S99=?(an?a100?n)??100?101.

2n?1222例7 求和：Sn?111?. +…+1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)【解】 一般地，

1k?2?k?

k(k?1)(k?2)2k(k?1)(k?2)??1?11????， 2?k(k?1)(k?1)(k?2)??1

k?1k(k?1)(k?2)n所以Sn=???1?111111 ?????????2?1?22?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?2)?

?1?11 ???2?2(n?1)(n?2)?11?. 42(n?1)(n?2)??例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列?项和，求证：Sn<2。

?an?的前nn??2?【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。

12an12358， ① ???????23456n222222因为Sn??所以Sn?12an1235。 ② ??????222324252n?1由①-②得Sn??1212122?11an?2??????2222n?2??an???2n?1， ?所以Sn??Sn?2?121214an。 n?12又因为Sn-2

an>0, 2n?1所以Sn??Sn, 所以Sn?， 所以Sn<2，得证。 4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an. 【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2. 故设an=(α+βn)·2n-1，其中??3????，

?6?(??2?)?21212141412所以α=3，β=0， 所以an=3·2n-1.

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an. 【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1, 所以an=α·3n+β·(-1)n，其中?3434?3?3???，

6?9????解得α=，β??， 所以an?[3n?1?(?1)n?1·3]。 5．构造等差或等比数列。

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