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KR?Kln? (r?R)
(???0)r?0(???0)???2??E2dr??r?RK?RKdr? (r?R) 2?(???)r?(???0)r00r03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密
度；（2）导出束缚电荷密度?P的表达式。
解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为 ?P???P???D??0?E
在介质内没有自由电荷密度时，?D?0，则有 ?P??0?E
??E?E??0 ?由于D??E，有 ?D??(?E)?E?? 所以 ?E???由此可见，当电介质不均匀时，?E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。
? （2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0?E??0E??
?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的
E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)
那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？
解 设在介质2中
E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)
D2??0?r2E2?3?0E2
在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez(D1?D2)?0，可得 ??ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?
2?5??3?E(x,y,0)?002z?于是得到 E2x(x,y,0 y?)2E2y(x,y,0)??3x
E2z(x,y,0)?103
故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)
D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10) 不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为
???03cos??1??E0rcos??aE02 r?a
??2?0r
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3?0Ercos? r?a
??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上
???03?0?(a,?)??Eacos??aEcos???Eacos? 10??2?00??2?003?0?2(a,?)??E0acos?
??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???E0cos? r?a00?r??2?0??2?03?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2?(a,?)??(a,?)???故有 1， 02r?ar?a
?r?r可见?1和?2满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为
3?(???0)??E0cos? ?p?nP2r?a?(???0)erE2??(???0)2r?a?0?r??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一
d半厚度(0~)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。
2(1)(1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3)(3) 求电容器的电容量。
设介质中的电场为E?ezE，解 （1）空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，
有
?E??0E0
z 又由于 ddE?E0??U0 d2 22U0 d2由以上两式解得 ? 2?0U0E?? ，
(???)d0 题 3.21图
2?U0
E0??
(???0)d2?0?U0???E?? 故下极板的自由电荷面密度为 下(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为上00(???0)d2?0(???0U)0 电介质中的极化强度 P?(???0)E??ez(???0)d?2??
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2?0(???0U)0
(???0)d2?0(???0U)0 上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ezP??(???0)d2?0?UQ? （2）由 ??ab(???0)dE0 (???0)dQU? 得到 ?1 2??ab0?2 (???0)QE ?? ?故p下?ab(???0)Q?0 ? E0
?p上??
?ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d
3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角?1，如题3.22图所示。求：（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。
tan?1?0? 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
tan?2??21?1?tan?1?0?1?tan?tan? 14由此得到 ?1?tan0??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即
?0E0cos?1??En
?1co?s?E0cos 14所以 En?0E1?04介质板左表面的束缚电荷面密度
3?p??(???0)En???0E0cos1?4?0?.7E02 8043??(???)E??0E0cos1?40?.7E介质板右表面的束缚电荷面密度 p0n02 8043.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：
（1）平行于E的针形空腔；
（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。
解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中
E0?E，D0??0E0??0E
（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中
D?ED0?D??E，E0?0?
?0?0故下表面上的束缚电荷面密度为 ?p下??ezP?
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3.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为 ???1?y(?2??)1d 设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得
qDy???
SDyqEy??
?[?1?y(?2??1)d]Sdd所以，两极板的电位差 U??Eydy??0?qqddy?ln2
[?1?y(?2??)S(??1d]S2?)1?10故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
122?rE??r? 解 在质子束内部，由高斯定理可得 r?0?r2.32?10?7r4?3??1.31?10rVm (r?10 )m故 Er??122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?02?a?
?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10 )m故 Er??122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是
不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??J?(??)。试问有没有束缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。
????对于恒定电流，有?J?0，故得到 ??J?(??) 介质中有束缚体电荷?P，且
)J?(?)?J 解 ???D??(?E)??(J????J?P???P???D??0?E??J?()??0?()???????0??J?()?J?(0)??J?()
???3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分
布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由?JdS?I，可得电
S流密度
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