（Ⅱ）设N?x1,y1?，当直线l垂直于x轴时，点E在以MN为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l的方程为y=k(x-2)+1， 代入椭圆方程消去y得4k?1x?8k?2k22???2?x?4?4k2?4k?1??0，
则有2x?14?4k2?4k?1?4k?122，即x?12?4k2?4k?1?4k2?1?4k2?4k?1，y1?， 24k?1且判别式??16?2k?1??0，即k??1，又点E总在以MN为直径的圆内， 2所以必有EM?EN?0，即有?x1?1,y1??1,1??x1?y1?1?0，
14k2?8k?3?4k2?4k?1k??将x1，y1代入得，解得， ??064k2?14k2?1所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是??【点睛】本题主要考查椭圆
?1?,???． ?6?标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,
解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21.已知函数f(x)?lnx?121ax?(a?1)x?(a?R). 22(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a?R，若对任意的x?0，xf'(x)?【答案】(Ⅰ) (1)若a?0，f(x)在(0,??)上单调递增；(2)若a?0，f(x)在(0,?)上
1单调递增；在(?,??)上单调递减； (Ⅱ)a??1.
a【解析】 【分析】
的121ax?lnx?恒成立，求a的取值范围. 221a（I）先求得函数的导数和定义域，然后对a分成a?0,a?0两类，讨论函数的单调性.（II）
将原不等式恒成立转化为“f?x??0对任意的x?0恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及f?x?max?0恒成立，求得a的取值范围. 【详解】(Ⅰ)f??x???x?1??ax?1? (x?0) , 1?ax?a?1?xx(1)若a?0，则f??x??0，函数f?x?在?0,???上单调递增； (2)若a?0，由f??x??0得0?x?? ?函数f?x?在?0,?11；由f??x??0得x?? aa??1??1??,??上单调递增；在???上单调递减.
a?a??121ax?lnx?对任意的x?0恒成立 22121即lnx?ax??a?1?x??0对任意的x?0恒成立
22(Ⅱ)由题设，xf??x??即f?x??0对任意的x?0恒成立 , 由(Ⅰ)可知， 若a?0，则f?1??33a??0，?不满足f?x??0恒成立, 221???1?0,??,??上单调递增；在????上单调递减.
aa????若a?0，由(Ⅰ)可知，函数f?x??1??1?11?f?x?max?f??? ?ln?????，又f?x??0恒成立
?a??a?2a2?1?11?f?x?max?0，即ln??????0,
?a?2a2设g?x??lnx?x1?1??，则g????0 22?a?函数g?x?在?0,???上单调递增，且g?1??0，
?0??1?1，解得a??1 a?a的取值范围为a??1 .
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.
(二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
?x?4?tcos?22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数，0????），
y?3?tsin??以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为：
?cos2???cos2??4cos??0.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当M(1,0)到直线l的距离最大时，求AB. 【答案】（1）y?4x；（2）16. 【解析】 【分析】
（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C的直角坐标方程；（2）设P?4,3?，当M?1,0?到直线l的距离最大时，得到l?MP，故??长公式求AB.
【详解】解：（1）曲线C：?即：?sin??4?cos?.
∴曲线C的标准方程为：y?4x.
（2）设P?4,3?，当M?1,0?到直线l的距离最大时，l?MP，故??22223?.再利用直线的参数方程的弦42?cos??cos2???4?cos?，
23?. 4??x?4??∴l的参数方程为??y?3???22t2（t为参数）， 2t2将直线l的参数方程代入y?4x得：t2?102t?14?0.
??t1?t2??102∴?，
tt??14??12∴AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?16.
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
23.已知函数f(x)?2x?1?4x?5的最小值为M. （1）求M；
222222a?ba?cb?c（2）若正实数a，b，c满足a?b?c?M，求证：???7
cba【答案】（1）【解析】 【分析】
7；（2）详见解析. 2（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当x?（2）由题得a?b?c?57时，f?x?取得最小值M?；427，再利用均值不等式证明不等式. 21?4?6x,x???2?15?【详解】解：（1）f?x???6?2x,??x?，
24?5?6x?4,x??4?由于函数y=4?6x,x??是增函数， 故当x?1155,是减函数，y=6?2x,??x?,是减函数，y=6x?4,x?，224457时，f?x?取得最小值M?. 42a2?b2a2?c2b2?c22ab2ac2bc（2） ?????cbacba?bc??ac??ab??a????b????c???
?cb??ca??ba??2?a?b?c??7.
【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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