同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 选择填空题(3'?8?24')

1. y?f(x)具有二阶导数, 且f'(x)?0. 若曲线y?f(x)在(x0,y0)的曲率为k?0, 其 反函数x?f?1(y)所表示的曲线在对应点的曲率为k', 则有 【A】

'k; (B)k'? (A)k?1; (C)k'?k; (D)k'?k. k2. 已知函数y?f(x)满足f(0)?1, 如果在任意点x处, 当?x充分小时都有 ?y?x?x?o(?x), 则有 【C】 21?xx1?x2(B)f(x)??1; (A)f(x)?;

1?x2(1?x2)22 (C)f(x)?ln? (D)题中所给的条件无法得到确定的函数f(x). 1x?; 13. 下面的极限式中哪项等于连续函数f(x)的定积分

n?20 f(x)dx. 【D】

nnnk22k1k1k1 (A)lim; ; ; f()(B)limf()(C)limf()(D)lim2f(). ????n??n??n??n??nnnnnnnnk?1k?1k?1k?14. 要使反常积分

???01dx收敛, 则实数p的取值范围是 【C】 p(1?x) (A)p?1; (B)p?1; (C)p?2; (D)p?2.

?5. 如果作换元sinx?t, 则积分

?30f(sinx)dx??320f(t)11?t2dt.

1

6. 微分方程 7. 已知

dy?e2x?3y?1的通解y?dx132x?1ln(e?C)32.

?f(x)dx?ex2?C, 则?xf(2x?1)dx?21(2x2?1)2e?C41?R22.

.

8. 定积分

?R?R[x3ln(1?x4)?R2?x2]dx?

二. 计算题(8'?3?24')

1. 求极坐标所表示的曲线??2e4?在?0?2. 计算定积分

??所对应点处的切线方程. [5x?3y?2e] 4??2?11sinx?1dx. [2?]

3. 可导函数f(x)满足等式

?2x02ttf()dt?f(x)?2, 求函数f(x). [f(x)?2e2x] 2三. (10')已知函数f(x)(x?R)在点x?1左连续, 同时该点是函数f(x)的跳跃间断点, 如 果该函数只有x?1一个间断点, 试分析函数f(x3?3x2?9x?C)间断点的个数. [?26?C?6三个; C?6两个; C??26或C?6一个]

?y\?2y'?3y?x?115?x?3xy?2e?e?x?四. (10')求微分方程?的解. [] 41439y?,y'??x?03?x?09五. (10')曲线y?x?1(x?0). (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L; (2)求该曲线与切线L以及y轴所围图形的面积;

(3)求题(2)所叙述的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. [y?4x?3;A?2288;V??] 33六. (10')一只容器由y?x(0?x?2)绕y轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量

1, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. 416?g?] [h?2;W?3 的

七. (12')(1)如果周期函数f(x)(x?R)有最小正周期T0, 证明对于f(x)的任意一个周期 T, 都有T?nT0, 其中n是正整数; [记周期T?nT0?[0,T0)]

2

(2)如果f(x)(x?R)以T1??以及T2?1为周期,证明存在一列{Tn}(若i?j,则Ti?Tj) 使得Tn都是函数f(x)的周期, 并且数列{Tn}有极限; [T1T2非最小正周期, 存在T3?T2,???Tn?Tn?1为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数f(x)在点x?0连续, 证明f(x)是常数.

[???0,???0,当x??时,f(x)?f(0)??;Tn?Tn?1?0,?T??,0?x?nT??]

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