直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分I?????x?3?y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?是椭球面S位
于曲线C上方的部分.
【考点】曲面的切平面、曲面的法线、第一类曲面积分的计算 【难易度】★★★★ 【详解】
解析：令F?x,y,z??x2?y2?z2?yz?1
故动点P?x,y,z?的切平面的法向量为?2x,2y?z,2z?y?；
?x2?y2?z2?yz?1由切平面垂直xOy，故所求曲线C的方程为：?
2z?y?0??x2?y2?z2?yz?1,y22?1， 由? 消去z，立马可得投影柱面Dxy:x?42z?y?0,?3由x?y?z?yz?222????1??x2x，得
?z2x?zz?2y??，同理得， ?xy?2z?yy?2z2??z???z?因而可得 dS?1???????y??dxdy??x????所以， I????4?y2?z2?4yzdxdy，
y?2z?x?3?y?2z4?y?z?4yz22dS?Dxy???x?3?dxdy???xdxdy???Dxy3dxdy
Dxy ?Dxy??3dxdy?3??1?23?2?.
（20） （本题满分11分）
????????1??????1??a?????设A??0?????1?????，b??1?
??????????????????1?????已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解
（I） 求?，a；
（II） 求方程组Ax?b的通解.
【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法一：（I）已知Ax?b有2个不同的解?r(A)?r(A,b)?3，对增广矩阵进行初
等行变换，得
11a??11?????(A,b)??0??101???0??1?1?1?1?1????1?1??1?1?????0??101???0?01??1??2a????0???当??1时，
?1?01?1?a??1??10?01??2???a???1??11
?1111??1111?????(A,b)??0001???0001?
?000a??0000?????此时，r(A)?1?r(A,b)?2，Ax?b无解，所以??1.
1??11?1??1? 当???1，(A,b)??0?20?000a?2???由于r(A)?r(A,b)?3，所以a??2.因此，???1，a??2. 方法二：（I）已知Ax?b有2个不同的解
?r(A)?r(A,b)?3
?∴A?0，即A?011??10?(??1)2(??1)?0，知??1或-1. 11?当??1时，r(A)?1?r(A,b)?2，此时，Ax?b无解，????1.代入由?r(A)?r(A,b)得a??2.
3??10?1??11?11??2?11?11?????11??（II）(A,b)?0?201??010????010??
??2??2??0000?????000???00000????????
3??3?x?x?3?2??132?x1?1??????x?x??11?132?????原方程组等价为?，即?x2??，?x2?x30????.
?????2?2?x??1????1??x?23?????0?x3?x3?2????????31?Ax?b的通解为x?k(1,0,1)T?(,?,0)T ，k为任意常数.
22 （21） （本题满分11 分）
T22已知二次型f(x1,x2,x3)?xAx在正交变换x?Qy下的标准型为y1?y2，且Q的第3列
为(22T,0,). 22（I） 求矩阵A；
（II） 证明A?E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵
【考点】实对称矩阵的特性，二次型的标准形，二次型正定的判定 【难易度】★★★ 【详解】
22解析：（1）由于二次型在正交变换x?Qy下的标准形为y1?y2，所以A的特征值为
?1??2?1,?3?0.
?2?22?2?,0,,0,??0由于Q的第3列为?，所以对应于的特征向量为，A???3?2???2?2???2记?3??1,0,1?.
由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于
TTT?1??2?1的特征向量为???x1,x2,x3?，则?T?3?0，即x1?x3?0.取
T?1??0,1,0?,?2???1,0,1?，
则?1,?2为对应于?1??2?1的特征向量.
TT?010??010?????方法一：由A(?1,?2,?3)?(?1,?2,0)，两边取转置，得??101?A???101?.
?101??000?????解此矩阵方程：
11????0?010??101M000??100M2?010M2????????101M?101?010M010?010M010? ??????101M?000?11??001M11????001M?0?0????22??22?1??10??22???所以，A??010?.
?11?0???22??方法二：
由于?1,?2是相互正交的，所以只需单位化：
?1??1?1TT??0,1,0?,?2?2???1,0,1?. ?1?222???1?2???， 0?，则QTAQ????1???0?2???2???1?0?2?取Q???1,?2,?3???10?1?0?2?1??10??22???TA?Q?Q??010?.
?11?0???2??2（II）A?E也是实对称矩阵，A的特征值为1，1，0，所以A?E的特征值为2，2，1，
由于A?E的特征值全大于零，故A?E是正定矩阵. （22） （本题满分11 分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2，???x???，
???y???，求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)
【考点】连续型随机变量的概率密度的性质，二维连续型随机变量的边缘密度，二维连续型随机变量的条件密度 【难易度】★★★ 【详解】
解析：f?x,y??Ae?2x2?2xy?y2??y?x?2?Aee?x
2
?y?x???x2????22?1????1???2??2????112?????A??ee?2??
?2?1??2?1?????22????2利用概率密度的性质得到
?x2?1?2????2?2??y?x?2?1?2????2?21???????????f?x,y?dxdy?A????112?2??e[???112?2??edy]dx
??y?x?2?1?2????2?2因为，
???112?2??edy2(y?x)?t12??????edt?1；
?t22?x2?1?2????2?2同理，
???112?2??edx?1，所以
?x2?1?2????2?2??y?x?2?1?2????2?21???????????f?x,y?dxdy?A????112?2??e[???112?2??edy]dx?A?
（利用正态分布的概率密度为1，即
2?????1e2??2x?????2?2?1，得到A?? dx?1）
?y?x???x2????2211???????2??2?????1122??????? 即f?x,y???ee11?2???2??????22????X的边缘概率密度为
??y?x?2?1?2????2?2fX?x???????f?x,y?dy?1?e?x2???12?12??edy?1?e?x
2条件概率密度
fYX?yx??f?x,y?1?x2?2xy?y2?e,???x???,???y???
fX?x??
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