历年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案1

（23） （本题满分11分） 设总体X的概率分布为 X P 1 2 3 1?? ???2 ?2 其中???0,1?未知，以Ni表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i?1,2,3）.试求常数a1,a2,a3，使T??aN为?的无偏估计量，并求T的方差.

iii?13【考点】简单随机样本, 估计量的无偏性, 样本均值，样本方差 【难易度】★★★★ 【详解】

解析：N1~B?n,1???,N2~Bn,???2,N3~Bn,?2

?????3?E?T??E??aiNi??a1E?N1??a2E?N2??a3E?N3?

?i?1??a1n?1????a2n????2??a3n??2??na1?n?a2?a1???n?a3?a2??2

因为T是?的无偏估计量，所以E?T???即得

?na1?0??n?a2?a1??1 ?n?a?a??032???a1?0?1?整理得到?a2?

n?1?a?3?n?所以统计量T?0?N1?1111N2??N3???N2?N3????n?N1? nnnn111?1?1D?T??D???n?N1???2D?n?N1??2D?N1??2?n??1???????1????

nnn?n?n