初等数论简介
绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目内容几乎涉及到初等数论所有专题。 1． 请看下面例子：
（1） 证明：对于同样整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛
第一题)
（2） ①设
，证明
是168倍数。
能整除
？（1956年上海首届数学竞赛
②具有什么性质自然数，能使第一题） （3） 证明：
届数学竞赛第一题）
（4） 证明：对任何自然数，分数（5） 令
和
对于任何正整数都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首
不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）
分别表示正整数
最大公因数和最小公倍数，试证：
（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）
这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字：
（1）世界上历史最悠久匈牙利数学竞赛，从1894~1974年222个试题中，数论题有41题，占
。
（2）世界上规模最大、规格最高IMO（国际数学奥林匹克竞赛）前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定分量。如果将有一定“数论味”计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现数论题： (1)方程
整数解
个数是（ ）
A、 0 B、1 C、3 D、无穷多
（2007全国初中联赛5）
（2）已知
都是正整数，试问关于方程
是否有两个整数解？
如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（2007全国初中联赛12）
1 / 18
（3）①是否存在正整数 ②设
，使得？ ，使得
？
是给定正整数，是否存在正整数
（2007全国初中联赛14） （4）关于
方程
整数解
得组数为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、无穷多
（2009全国初中联赛5） （5）已知关于方程
是满足条件
五个不同整数，若是 整数根，则值为
（2009全国初中联赛8） （6）已知正整数
满足
，且
，求满足条件所有可能正整数
和。
（2009全国初中联赛12） （7）个正整数
满足如下条件：
；且
中任意
个
不同数算术平均数都是正数，求最大值。
（2009全国初中联赛14） (8)在一列数
中，已知
，且当
时，
（取整符号
表示不超过实数a最大整数，例如）则等于（ ）
A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足
所有素数P和正整数m。
（2010全国初中联赛13） （10）从
这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出数中任意三个数之和都
能被33整除？ （2010全国初中联赛14）
（11）设四位数
满足
，则这样四位数个数为
（2011全国初中联赛10） （12）已知关于一元二次方程
两个整数根恰好比方程2 / 18
两个根都大1，求
a+b+c值
（2011全国初中联赛11） （13）若从值。
（2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差这种正整数，从小到大排成一列：
，例如
，
，……那么
=
中任取5个两两互素不同整数
其中总有一个整数是素数，求n最大
（2007福建省高一数学竞赛12） （15）求最小正整数n，使得集合是2幂。
（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b<1000)，斜边长是b+1直角三角形有（ ） A、20个 B、21个 C、22个 D、43个
（2008福建省高一数学竞赛5） （17）设、
为非负整数，使得
是5倍数，
是3倍数，且
，则
最小值
每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们和
为
（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数
中，若任意三个都不能成为三角形三边长，则
最小值是
（2008福建省高一数学竞赛12） （19）设
（n为正整数），若S得任意含有100个元素子集中必定有两个数差能被25整
除，求n最大值。 （2008福建省高一数学竞赛17） （20）设
（2009福建省高一数学竞赛11） （21）已知集合M是集合x+y不能整除z，求m最大值。
（2009福建省高一数学竞赛17）
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含有m个元素子集，且对集合M任意三个元素x,y,z均有
是不超过x最大整数，则
=
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