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题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳
1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值
2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解
例1不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值
命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高
知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错
技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
解法一 sin220°+cos280°+3sin220°cos80°
11 (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2211=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)
2211=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)
22=
+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
33113cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
44242331=1－cos40°－(1－cos40°)=
444=1－
解法二 设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°
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y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则 x+y=1+1－3sin60°=
1， 2x－y=－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=
1， 41 4即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=例2设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=
1的a值，并对此时的a值求y的最大值 2命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力
知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题
错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等
a2a2?4a?2解 由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得
22 (a??2)?1 ?2?af(a)＝???2a?1 (?2?a?2)
2?1?4a (a?2)??1, 211∴1－4a=?a=?［2,+∞)
28a21或 －－2a－1=，解得a=－1?(?2,2)，
2211此时，y=2(cosx+)2+，
22∵f(a)=
当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5
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例3已知函数f(x)=2cosxsin(x+
?3)－3sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［
?12，
7?－－
］时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值 12命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力
知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识
－
错解分析 在求f-1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化，逆向思维
解 (1)f(x)=2cosxsin(x+
?3)－3sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos
?3+cosxsin
?3)－3sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+
?3)
?3=2kπ－
?2，即x=kπ－
5? (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2 12］, ,22??3??5?∴2x+∈［,］,∴2x+=，
33236(3)令2sin(2x+
?3)=1，又x∈［
?7?则x=
?4，故f-1(1)= －
?4
例4 已知
?2＜β＜α＜
3?123,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin24513α的值_________
解法一 ∵
?3??3?＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜, 24442∴sin(???)?1?cos(???)?54,cos(???)??1?sin2(???)??. 135∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
?5412356?(?)??(?)??. 13513565大毛毛虫★倾情奉献★精品资料
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54,cos(α+β)=－, 13572∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
6540sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
651724056∴sin2α=(??)??
2656565解法二 ∵sin(α－β)=
学生巩固练习
1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－
??22A
,)，则tan
???2
的值是( )
1 2B －2 C 4 3D
1或－2 22 已知sinα=
3?1，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2522)，β∈(0，
β)=______
3 设α∈(
?3?44,?4)，cos(α－
?4)=
33?5，sin(+β)=，5413则sin(α+β)=_________
4 不查表求值:
2sin130??sin100?(1?3tan370?)1?cos10?.
sin2x?2sin2x317?7?5 已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值
1?tanx5441286 已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z) 求
31?cos(???)???4sin2(?)的最大值及最大值时的条件
??44csc?sin22?7 如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积
BQP8 已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是
ORSAD，x∈D，求函数y=log122x?3的最小值，并求取得最小
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