由题意得，又从而
，所以
，从而，，
．
．
．
令则由当所以当因为从而当即当
时，，得时，时，
，
，
． ．
时，
，
为减函数．
，解得为增函数；当
有极大值，也是最大值．
所以取得最大值时，取得最大值．
． 取得最大值．
解析：将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；
借助于角，把表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．
本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
18.答案：解：由题意：，； 设
，
，得：，，
所以椭圆C的标准方程为：
设直线PQ的方程
：
所以
，
，则
，联立与椭圆的方程整理得
，
，
．
，则l的方程为：
，
，
又点A到直线PQ的距离为所以三角形APQ的面积为：
由题意知直线l的斜率存在，设为k，l过点联立与椭圆的方程整理得
第13页，共19页
令将
，代入
，由中，得
，即，所以
，
，
，
由得
．
，解得，
所以直线的斜率为
解析：由题意的离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
由得写出直线PQ的方程，联立椭圆得两根之和及两根之积，由弦长公式求出弦长即点到直线的距离，进而求出面积；
设过A的直线与椭圆联立求出B的坐标，及C的坐标，由求出斜率． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．
19.答案：解：
当当所以
令
，，，所以
在
，所以
上单调递增； 在单调递减； 的零点为．
，
时，
时，
由题意， ，
要证令即
不等式
，则
，即证 ，由
知
，当且仅当
，即证
时等号成立，所以
，
，
，所以原不等式成立．
对一切正实数x恒成立，
，
设记当于是当当又当
时，时，时，即
时，
，，时，
，又
，又
，
，故恒成立，故
，故
，
，
单调递增．
，
，
第14页，共19页
因此，当当又故当当即
，即
时，时，设，于是时，时，
，
的两个不等实根分别为，
，从而在
，此时
单调递减； ，于是
， ，
，
舍去，
．
，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；
，即证
，即证
，
综上，k的取值范围是
解析：令
转化思想，要证构造函数进而求证；
不等式
对一切正实数x恒成立，
，设
，分类讨论进而求
解．
考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点； 考查转化思想，构造函数求极值；
考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；
，，成等差数列， 20.答案：解：
， 即
， ， 由得
，
，
，
整理得，
解得，
由于
因此存在唯一的正整数n，使得
且得
．
，
第15页，共19页
，
，
设则
，
，
，
，
即当则
，
为单调递增， 时，
，即时，即
若
，则
互相矛盾，
于是
，
，
即
，
，
，
，即
，这与
，
，
，
，
，
，这与
互相矛盾，
解析：
根据等差数列和等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，即可求出，
若，得到，解得即可，
由已知条件可得，构造，，，利用定义证明
其单调性，再分别赋值验证即可．
此题主要考查等差的性质的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．
21.答案：解：，
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