答案：圆的证明计算（一）

圆的证明计算（一）参考答案

一．解答题（共30小题）

1．（2015?六盘水）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD． （1）求证：△ADO∽△ACB．

（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD?BC．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；

（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论． 解答： （1）证明：∵AB是⊙O的切线， ∴OD⊥AB，

∴∠C=∠ADO=90°， ∵∠A=∠A，

∴△ADO∽△ACB；

（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB． ∴

，

∴AD?BC=AC?OD， ∵OD=1，

∴AC=AD?BC．

点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键． 2．（2015?东营）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：AC?AD=AB?AE；

（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

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考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；

（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长． 解答： （1）证明：连接DE， ∵AE是直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴

=

，

∴AC?AD=AB?AE； （2）解：连接OD， ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD， ∴OB=2OD， ∴∠OBD=30°， 同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

点评： 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 3．（2015?遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD； （2）求证：AD2=AM?AB； （3）若AM=

，sin∠ABD=，求线段BN的长．

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考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； （2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论； （3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果． 解答： （1）证明：连接OD， ∵直线CD切⊙O于点D， ∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∵OB=OD， ∴∠3=∠4，

∴∠ADC=∠ABD；

（2）证明：∵AM⊥CD， ∴∠AMD=∠ADB=90°， ∵∠1=∠4，

∴△ADM∽△ABD， ∴

2

，

∴AD=AM?AB；

（3）解：∵sin∠ABD=， ∴sin∠1=， ∵AM=

，

∴AD=6， ∴AB=10， ∴BD=

=8，

∵BN⊥CD， ∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°， ∴∠DBN=∠1， ∴sin∠NBD=， ∴DN=∴BN=

，

=

．

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点评： 本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

4．（2015?丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F． （1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

考点： 切线的性质；扇形面积的计算．

分析： （1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；

（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论． 解答： （1）证明：连接OD， ∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥OD， ∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=90°， ∵⊙O的半径为4，

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