分析： （1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可； （2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．
解答： （1）解：如图，连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD，
∵OA=CD=2，OA=OD， ∴OD=CD=2，
∴△OCD为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=
（2）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵
=
，
﹣
=4﹣π；
∴ED=BD，∠MAD=∠BAD， 在△AMD和△ABD中，
，
∴△AMD≌△ABD， ∴DM=BD， ∴DE=DM．
点评： 本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．
21．（2015?贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM． （1）若AB=4
，求
的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．
第25页（共37页）
考点： 切线的性质；菱形的判定；弧长的计算． 专题： 计算题．
分析： （1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出
的长；
（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证． 解答： （1）解：∵OA=OB，E为AB的中点， ∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB， ∵OE⊥AB，E为OD中点， ∴OE=OD=OA，
∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°， 设OA=x，则OE=x，AE=∵AB=4，
∴AB=2AE=x=4解得：x=4， 则
的长l=
x，
， =
；
（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°， ∴∠BAM=∠BMA=30°， ∴AB=BM，
∵BM为圆O的切线， ∴OB⊥BM，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（SAS），
∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°， ∴CM=AB，∠CMO=∠MAB， ∴CM∥AB，
∴四边形ABMC为菱形．
第26页（共37页）
点评： 此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
22．（2015?柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE． （1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
考点： 切线的性质；平行四边形的性质．
分析： （1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．
解答： 证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A， ∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC， ∴∠DAC=∠ABC， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB， ∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB， ∴∠AEH=∠AEF， 在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF， ∴EH=EF， ∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
第27页（共37页）
，
∴△ABH≌△ACF， ∴BH=CF=CE+EH．
点评： 本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．
23．（2015?玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
的中点，连接DE，EB．
考点： 切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算． 分析： （1）由∠BOD=60°E为
的中点，得到
，于是得到DE∥BC，根
据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由（1）知，程即可得到结论．
解答： 解：（1）∵∠BOD=60°， ∴∠AOD=120°， ∴
=
， 的中点，
，
，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方
∵E为∴
∴DE∥AB，OD⊥BE， 即DE∥BC，
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