分析: (1)求证直线EF是⊙O的切线,只要连接OD证明OD⊥EF即可;
(2)根据∠E=∠CBG,可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG,进而转化为求Rt△BCG中,两边的比的问题. 解答: (1)证明:如图,
方法1:连接OD、CD. ∵BC是直径, ∴CD⊥AB. ∵AC=BC.
∴D是AB的中点. ∵O为CB的中点, ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC, ∴OD⊥EF.
∴EF是O的切线. 方法2:∵AC=BC, ∴∠A=∠ABC, ∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO, ∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°. 即∠EDO=90°, ∴OD⊥ED
∴EF是O的切线. (2)解:连BG. ∵BC是直径, ∴∠BDC=90°. ∴CD=
=8.
∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG, ∴BG=∴CG=
=
. =
.
∵BG⊥AC,DF⊥AC, ∴BG∥EF. ∴∠E=∠CBG,
第33页(共37页)
∴cos∠E=cos∠CBG==.
点评: 本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
28.(2015?呼和浩特)如图,⊙O是△ABC的外接圆,P是⊙O外的一点,AM是⊙O的直径,∠PAC=∠ABC
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)连接PB与AC交于点D,与⊙O交于点E,F为BD上的一点,若M为且∠DCF=∠P,求证:
=
=
.
的中点,
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)连接CM,根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC,得出∠PAC=∠M,由∠M+∠MAC=90°,得出∠PAC+∠MAC=90°,即:∠MAP=90°,就可证得结论; (2)连接AE,根据垂径定理得出AM⊥BC,进而得出AP∥BC,得出△ADP∽△CDB,根据相似三角形的性质得出=
=
.
=
,然后证得△ADE∽△CDF,得出
=
,从而证得
解答: 证明:(1)连接CM, ∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC, ∴∠PAC=∠M, ∵AM是直径,
∴∠M+∠MAC=90°, ∴∠PAC+∠MAC=90°, 即:∠MAP=90°, ∴MA⊥AP, ∴MA⊥AP,
∴PA是⊙O的切线; (2)连接AE, ∵M为
中点,AM为⊙O的直径,
∴AM⊥BC, ∵AM⊥AP, ∴AP∥BC,
∴△ADP∽△CDB,
第34页(共37页)
∴=,
∵AP∥BC, ∴∠P=∠CBD, ∵∠CBD=∠CAE, ∴∠P=∠DCF, ∴∠DCF=∠CAE, ∵∠ADE=∠CDF, ∴△ADE∽△CDF, ∴∴
==
, =
.
点评: 本题考查了圆周角定理的应用,切线的判定,垂径定理的应用,三角形相似的判定和性质,解答时正确添加辅助线是关键.
29.(2015?泰州)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F. (1)试说明DF是⊙O的切线; (2)若AC=3AE,求tanC.
考点: 切线的判定.
分析: (1)连接OD,根据等边对等角得出∠B=∠ODB,∠B=∠C,得出∠ODB=∠C,证得OD∥AC,证得OD⊥DF,从而证得DF是⊙O的切线;
(2)连接BE,AB是直径,∠AEB=90°,根据勾股定理得出BE=2AE,CE=4AE,然后在RT△BEC中,即可求得tanC的值. 解答: (1)证明:连接OD, ∵OB=OD, ∴∠B=∠ODB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC,
第35页(共37页)
∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线; (2)解:连接BE, ∵AB是直径, ∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,AC=3AE, ∴AB=3AE,CE=4AE, ∴BE=
=2
AE, =
=
.
在RT△BEC中,tanC=
点评: 本题考查了等腰三角形的性质,平行线的判定和性质,切线的判定,勾股定理的应用以及直角三角函数等,是一道综合题,难度中等.
30.(2015?资阳)如图,在△ABC中,BC是以AB为直径的⊙O的切线,且⊙O与AC相交于点D,E为BC的中点,连接DE. (1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接AE,若∠C=45°,求sin∠CAE的值.
考点: 切线的判定;勾股定理;解直角三角形. 分析: (1)连接DO,DB,由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°,可以得出∠CDB=90°,根据E为BC的中点可以得出DE=BE,就有∠EDB=∠EBD,OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD,由的等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论.
(2)作EF⊥CD于F,设EF=x,由∠C=45°,得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=x,AB=BC=2x,AE=x,进而就可求得sin∠CAE的值. 解答: 解:(1)连接OD,BD, ∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD. ∵AB是直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠CDB=90°.
第36页(共37页)
∵E为BC的中点, ∴DE=BE,
∴∠EDB=∠EBD,
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD, 即∠EDO=∠EBO.
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线, ∴AB⊥BC, ∴∠EBO=90°, ∴∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)作EF⊥CD于F,设EF=x ∵∠C=45°,
∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形, ∴CF=EF=x, ∴BE=CE=x, ∴AB=BC=2x, 在RT△ABE中,AE=∴sin∠CAE=
=
.
=
x,
点评: 本题考查了圆周角定理的运用,直角三角形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,切线的判定定理的运用,勾股定理的运用,解答时正确添加辅助线是关键.
第37页(共37页)
相关推荐: