点评： 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形． 19．（7分）（2010?东莞）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李． （1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？ 考点： 一元一次不等式组的应用． 专题： 压轴题；方案型． 分析： （1）设租用甲车x辆，则乙车（10﹣x）辆． 不等关系：①两种车共坐人数不小于340人；②两种车共载行李不小于170件． （2）因为车的总数是一定的，所以费用少的车越多越省． 解答： 解：（1）设租用甲车x辆，则乙车（10﹣x）辆．根据题意，得 ， 解，得 4≤x≤7.5． 又x是整数， ∴x=4或5或6或7． 共有四种方案： ①甲4辆，乙6辆； ②甲5辆，乙5辆； ③甲6辆，乙4辆； ④甲7辆，乙3辆． （2）①甲4辆，乙6辆；总费用为4×2000+6×1800=18800元； ②甲5辆，乙5辆；总费用5×2000+5×1800=19000元； ③甲6辆，乙4辆；总费用为6×2000+4×1800=19200元； ④甲7辆，乙3辆．总费用为7×2000+3×1800=19400元； 因为乙车的租金少，所以乙车越多，总费用越少． 故选方案①． 点评： 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系． 20．（9分）（2010?东莞）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4． （1）求证：△EGB是等腰三角形； （2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 30 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．
考点： 梯形；等腰三角形的判定． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，从而证明结论； （2）要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．再根据30°的直角三角形的性质即可求解． 解答： （1）证明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°， ∴∠EBF=60°， ∴∠EBG=∠EBF﹣∠ABC=60°﹣30°=∠E． ∴GE=GB， 则△EGB是等腰三角形； （2）解：要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形， 则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°． 设BC与DE的交点是H． 在直角三角形DFE中，∠FDH=60°，DF=DE=2， 在直角三角形DFH中，FH=DF?cos∠BFD=2×cos30°=2×则CH=BC﹣BH=AB?cos∠ABC﹣（BF﹣FH）=2即此梯形的高是3﹣2． 故答案为：3﹣2． =． ）=3﹣2． ﹣（2﹣ 点评： 此题主要是考查了30°的直角三角形的性质． 21．（9分）（2010?东莞）阅读下列材料： 1×2=（1×2×3﹣0×1×2）， 2×3=（2×3×4﹣1×2×3）， 3×4=（3×4×5﹣2×3×4），
由以上三个等式相加，可得： 1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）； （2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=
[n×（n+1）×（n+2）] ；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9= 1260 ． 考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 压轴题；阅读型． 分析： 可得规律：a×b=[a×b×（b+1）﹣（a﹣1）×a×b]． 解答： 解：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）； 2×3=（2×3×4﹣1×2×3）； 3×4=（3×4×5﹣2×3×4）； … 10×11=（10×11×12﹣9×10×11）； … n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]． （1）1×2+2×3+3×4+…+10×11 =（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11） =（10×11×12）=440； （2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1） =（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]； （3）1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）； 2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4）； 3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5）； … 7×8×9=（7×8×9×10﹣6×7×8×9）； ∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9 =（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；
=（7×8×9×10）=1260． 点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 22．（9分）（2010?东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
考点： 勾股定理的逆定理；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP； （2）当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，当MF⊥FN时，证得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4﹣x=2x，求得x此时的值，当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，此时x=AD=4； （3）当点F、M、N在同一直线上时，MN最短，设经过的时间为x，AM的长度为（4﹣x），AN的长度为（6﹣x），再由△MAN∽△MBF即可求出答案． 解答： 解：（1）根据三角形中位线定理得 PQ∥FN，PW∥MN， ∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF， ∴∠QPW=∠MNF． 同理∠PQW=∠NFM， ∴△FMN∽△QWP； （2）由于△FMN∽△QWP，故当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形． 作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD﹣DF=4，GN=GB﹣BN=4﹣x，DM=x， ①当MF⊥FN时， ∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°， ∴∠DFM=∠GFN． ∵∠D=∠FGN=90°， ∴△DFM∽△GFN， ∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2， ∴GN=2DM， ∴4﹣x=2x， ∴x=； ②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合， ∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或时，△QWP为直角三角形，当0≤x＜，＜x＜4时，△QWP不为直角三角形． （3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2； 22222 ②当4＜x≤6时，MN=AM+AN=（x﹣4）+（6﹣x） 2=2（x﹣5）+2 2当x=5时，MN=2，故MN取得最小值， 故当x=5时，线段MN最短，MN=． 点评： 本题为动点变化的题，主要利用了相似三角形的判定和性质，平行线的性质求解．
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