一、函数与集合
(一) 定义：A、B非空集合，A中任意x，对应B中有唯一确定的f(x)，f（）就叫函数。
定义域A，值域B以及从A到B的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。
1)
定义域不同，两个函数也就不同； 2）对应法则不同，两个函数也是不同的；
3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。
例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。
f（x）与f（a）的区别与联系
f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量。而值。
f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊
(二) 求定义域：求定义域的三种基本方法：
1.
是依据函数解析式中所包含的运算对自变量的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；
（整式为R，分式分母≠0，偶次根式≥0，X0为R但≠0） ?指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
y?tanx...(x?R,且x?k???正切函数
?2,k??)
?x?R,且x?k?,k???
??余切函数y?cotx
??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
[?函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是
??,]22，
函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，
(?函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是
??,)22，
函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
2.
是依据确定函数y＝f（x）的对应法则f对作用对象（用用对象 是指（）内的统称，自变量是一个复杂的函数或式子）的取值范围的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；
已知f（x）的定义域为x∈A，则f［g（x）］的定义域，是求g（x）∈A的x的取值范围
函数
f(x)的定义域为(a,b),函数g(x)的定义域为(m,n),
则函数
?g(x)?(a,b)?f[g(x)]的定义域为?x?(m,n)，解不等式，最后结果才是
已知f［g（x）］的定义域为A，则
f(x)的定义域，是求g（x）在A的值域即 在A范围内求g（x）的值范围
这里最容易犯错的地方在这里：
##已知函数
f(x?1)的定义域为［-2,3］（指的是x∈［-2,3］而非（x-1）∈［-2,3］）,求函数f(x)的定义域［-1，4］；或者说，
则函数
f(2x?1)的定义域为__［0，2.5］___） 记住：说定义域，就是指作用对象中的自变量，即x，非作
用对象本身），
3.
是根据问题的实际意义，规定自变量的取值范围，求得定义域。 (三) 求值域的基本方法：
依据各类基本函数的值域，通过不等式的变换，确定函数值的取值范围，在这一过程中，充分利用函数图像的直观性，能有助于结论的得出和检验。从定义域出发，利用函数的单调性，是探求函数值域的通法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 1.
2.
直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。但注意给定区间的二次函数最值的求法：如
F(x)?x-2x?3的值域，因为F(x)?(x?1)2+2≥2故所求值域[2,+∞）
3. 根判别式△法F(x)?f(x)中其中f(x) g(x)至少一个是二次函数，且不再有公因式（最简的），通常去分母，有g(x)理化为关于x的二次方程，判别式?非负求得值域，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y?2型,先化简，再用均值不等式x?mx?nx11 例：y???121+x2x+xx2?m?x?n?c.. y?2型 通常用判别式x?mx?nx2?mx?nd. y?型 x?n 法一：用判别式a. y? 法二：用换元法，把分母替换掉2x2?x?1（x+1）?（x+1）+1 1 例：y???（x+1）??1?2?1?1x?1x?1x?1如:
x2?x?11X11?1，总结：当x为正，形如：X? 0? ?2 法二是这种形式推导的 ??x?1X1?X2X?12X4.
换元法
对于一些无理数或超越函数，通过换元法把它换成有理数，再利用上述方法
求：y?1?2x?x值域
［方法一：］令t=
1-t21?2x（t≥0）则x=
21-t212?y?1?2x?x=t+=-（t-1）?1(t≥0) ?y≤1
22［方法二：］判别式法
y?1?2x?x的定义域为（-∞，
1］，由y-x?1?2x2两边平方得
x2?（21-y）x?y2-1?0 ? x为实数 ??≥0 ?y≤1
5. 反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。y?ax?c
bx?dy?例 求函数
3x?45x?6值域。
y?3x?46y?43?5xy?6y?3x?4?x?y?5x?63?5y,分母不等于0,即5
函数的有界性
6.
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
ex?12sin??12sin??1y?xy?y?e?1，1?sin?，1?cos?的值域。 例 求函数
ex?11?yy?x?ex??01?ye?12sin??11?yy??|sin?|?||?1,1?sin?2?y2sin??1y??2sin??1?y(1?cos?)1?cos?2sin??ycos??1?y4?y2sin(??x)?1?y,即sin(??x)?1?y4?y21?y4?y2又由sin(??x)?1知?1
解不等式，求出y，就是要求的答案7. 倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
y?例 求函数
x?2x?3的值域
x?2x?3x?2?0时，1x?2?1??yx?2y?x?2?0时，y=0?0?y?12x?2?1x?2?2?0?y?12
8、三角代换法 9、基本不等式法等
(四) 函数的表示方法:解析法（通过运算可求值）、列表法、图象法 二、映射
1. 映射，记作f：A→B有方向性或者射影（通俗理解为原象和象），在数学及相关的领域还用于定义函数，与函数的定义相同，注意唯一确定。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射（一一映射）或多对一映射。（理解：因为方法一定了，也就是光线上、条件确定后，一个物体只能成一个象 不可能出多个象，所以不可能有一对多的情况，这也就是唯一确定性。）允许
B中元素没有原象，但“对
应”关系中就包含一对多的关系，所以对应不同于映射，函数属于‘映射’不属于‘对应’
2. 3.
函数与映射区别：前者为非空集合，后者非空实数集 所以函数是数集到数集（“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等）等的映射，是特殊的；
分段函数;对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.，重点用图象法：图象法时，分段做出图象 ，在做每段时，先不管定义域的限制，用虚线做图，再用实线保留定义域内的那段。
三、图的绘制、转换及关系：
1. 2.
描点法（找出关键点）、
左移h平移变换法、① y=f(x)
上移h?y=f(x+h); ② y=f(x) ?y=f(x?h);
下移h右移h③y=f(x) ?y=f(x)+h; ④y=f(x) ?y=f(x)?h.
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